Здравствуйте! Нужно найти область сходимости ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {(-1)^{[\sqrt n]}}{n}x^n$$

(ряд Принсгейма) Я так понимаю, что квадратные скобки - это целая часть. Вроде нашла радиус по Коши-Адамару - |x| < 1. При x = 1 сходится условно. А вот что делать при x = -1? Я так понимаю, тоже сходится условно по Лейбницу?

задан 5 Июл '15 21:30

изменен 5 Июл '15 21:30

1

@Anna_2012: с радиусом сходимости здесь сразу всё ясно, поэтому задача сводится к исследованию сходимости рядов на концах (если она имеет место, то она может быть только условной). Случай x=1 уже довольно нетривиален. Признак Лейбница здесь напрямую не применим, потому что ряд не является знакочередующимся. Эта задача (для x=1) на форуме уже была, и я сейчас найду ссылку. Случай x=-1 ещё более сложен -- его надо исследовать отдельно.

(5 Июл '15 23:42) falcao

@falcao: Да, насчет x = 1 я поторопилась, он не знакочередующийся.

(6 Июл '15 0:18) Math_2012

@Anna_2012: это достаточно сложная задача (при $%x=\pm1$%). Решение я поместил.

(6 Июл '15 0:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

При $%x=1$% получается ряд $$-1-\frac12-\frac13+\frac14+\frac15+\frac16+\frac17+\frac18-\frac19-\frac1{10}+\cdots,$$ сходимость которого доказана здесь. Ясно, что эта сходимость является условной.

Теперь рассмотрим случай $%x=-1$%. Ряд имеет такой вид: $$1-\frac12+\frac13+\frac14-\frac15+\frac16-\frac17+\frac18+\frac19-\frac1{10}+\cdots.$$ Рассмотрим члены этого ряда с номерами в пределах от $%n^2$% до $%(n+1)^2-1$%. При $%n^2\le m < (n+1)^2$% имеет место равенство $%\lfloor\sqrt{m}\rfloor=n$%, поэтому первый член суммы будет идти со знаком "плюс", а далее знаки чередуются: $%c_n=\frac1{n^2}-\frac1{n^2+1}+\frac1{n^2+2}-\frac1{n^2+3}+\cdots+\frac1{n^2+2n}$%. Последний член здесь идёт со знаком "плюс", поскольку он домножается на $%(-1)^{n+n^2+2n}=1$%.

Все такие рассматриваемые суммы $%c_n$% положительны, и при этом они строго меньше $%\frac1{n^2}$%, так как из этой величины вычитаются положительные значения: $%c_n=\frac1{n^2}-(\frac1{n^2+1}-\frac1{n^2+2})-\cdots-(\frac1{n^2+2n-1}-\frac1{n^2+2n}) < \frac1{n^2}$%. Поэтому ряд $%\sum\limits_{n=1}^{\infty}c_n$% сходится по признаку сравнения к некоторому числу $%c$%.

Отсюда легко вывести сходимость исходного ряда при $%x=-1$%. Действительно, если $%n^2\le m < (n+1)^2$%, то для $%m$%-й частичной суммы $$S_m=\sum\limits_{n=1}^m\frac{(-1)^{n+\lfloor\sqrt{n}\rfloor}}n$$ будут справедливы неравенства $%c_1+\cdots+c_n\le S_m\le c_1+\cdots+c_n+\frac1{n^2}$%, откуда следует, что $%S_m\to c$% при $%m\to\infty$%. Ясно, что и здесь сходимость ряда является условной.

ссылка

отвечен 6 Июл '15 0:19

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×884
×455
×303
×86

задан
5 Июл '15 21:30

показан
1771 раз

обновлен
6 Июл '15 0:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru