Найти наименьшее значение параметра $%n \in {\Bbb N}$%, при котором уравнение

$$x_1^3 + x_2^3 + \ldots + x_n^3 = {1408^{1408}};\,\,\,{x_i} \in {\Bbb Z}$$ имеет решение

задан 6 Июл '15 19:56

изменен 7 Июл '15 0:12

10|600 символов нужно символов осталось
2

Куб целого числа сравним по модулю 9 с одним из чисел $%0$%, $%\pm1$%. Следовательно, сумма трёх кубов сравнима с одним из чисел от $%-3$% до $%3$%, и не может при делении на 9 давать в остатке ни 4, ни 5. Число $%1408^{1408}\equiv4^{1408}\equiv4\pmod9$%, поскольку $%4^3\equiv1\pmod9$%. Значит, в виде суммы трёх кубов оно не представимо.

Поскольку $%1408=2^7\cdot11$%, имеет место равенство $%1408^{1408}=22N^3$% для некоторого натурального $%N$%. Поэтому достаточно представить число 22 в виде суммы четырёх кубов. Это возможно: $%22=1^3-11^3-14^3+16^3$%. Следовательно, наименьшее $%n$% равно $%4$%.

ссылка

отвечен 6 Июл '15 23:38

@falcao Не могли бы указать значения при которых выполняется равенство при $%n=4$%?

(6 Июл '15 23:45) void_pointer

@falcao http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+over+integers+a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%2Bd%5E3%3D1408%5E1408 Вольфрам говорит что при $%n = 4$% решений нет.

(6 Июл '15 23:47) void_pointer

@void_pointer: я не знаю, что говорит Вольфрам, и по какому принципу он считает. Если он делает это перебором, то до нужных значений, скорее всего, не доходит. Значения у меня указаны: это $%N$%, $%-11N$%, $%-14N$%, $%16N$%, где $%N=2^{3285}\cdot11^{469}$%.

(7 Июл '15 0:03) falcao

@falcao Браво! Вы оказались правы!

(7 Июл '15 0:11) void_pointer

Wolfram не справился и с этой задачей - http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+over+integers+a%5E3%2Bb%5E3%2Bc%5E3%2Bd%5E3%3D22

(7 Июл '15 0:25) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×228
×120
×25

задан
6 Июл '15 19:56

показан
359 раз

обновлен
7 Июл '15 0:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru