$%x^2 + y^2 = z^2$% Доказать, что xyz делится на 60

задан 6 Июл '15 23:34

10|600 символов нужно символов осталось
4

Здесь можно не опираться на имеющееся описание пифагоровых троек, а исходить непосредственно из уравнения.

Достаточно доказать, что хотя бы одно из чисел делится на 3, а также на 4 и на 5 (делиться могут разные числа).

Квадрат целого числа при делении на 3 даёт в остатке 0 или 1. Если никакое число на 3 не делится, то получается противоречие (1+1=1 по модулю 3).

При делении на 5 квадрат целого числа может давать в остатке 0, 1 или 4. Допустим, что на 5 никакое из чисел не делится. Тогда в левой части получается 1+1=2 или 4+4=3 по модулю 5, что не равно правой части, а случай 1+4 означает, что правая часть делится на 5.

При делении на 4 квадраты дают в остатке 0 или 1. Отсюда следует, что $%x$% и $%y$% не могут быть одновременно нечётными. Значит, одно из этих чисел чётно. Можно также считать, что не все три числа чётны -- в противном случае можно каждое из них поделить на 2. Тогда два других числа нечётны, и их квадраты дают остаток 1 от деления на 8. Тогда квадрат первого числа делится на 8, то есть само число делится на 4.

ссылка

отвечен 6 Июл '15 23:59

10|600 символов нужно символов осталось
4

1) mod 3. Если ни один из катетов не кратен 3, то $%x^2+y^2$% сравнима с $%1+1=2$%, что не может быть квадратом по mod 3.

2) mod 5. Если ни один из катетов не кратен 5 и их квадраты совпадают по mod 5 (то есть две единицы или две четверки), то сумма равна 2 или 3 mod 5, что снова не бывает квадратом. Следовательно, квадраты катетов различны по mod 5, а тогда их сумма сравнима с 1+4=0 mod 5.

3) mod 4. Хотя бы один из катетов четный, иначе опять противоречие. Если все оба катета четны, то их произведение кратно 4, так что в этом случае все хорошо. Если один катет четный, а другой нечетный, то и квадрат гипотенузы, и квадрат нечетного катета сравнимы с 1 mod 8, а поэтому квадрат чётного катета кратен 8. Отсюда сам этот катет кратен 4.

ссылка

отвечен 7 Июл '15 0:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,593
×1,117
×883
×880

задан
6 Июл '15 23:34

показан
3299 раз

обновлен
7 Июл '15 0:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru