Есть ли доказательство такого неравенства: при каких целых $%n$% выполняется неравенство $%n^{(n+1)}>(n+1)^n$%? Подбором я нашел $%n$%, а можно ли это доказать.
Собственно задача вначале была такой: доказать, что $%7^{\sqrt 8}>8^{\sqrt 7}$%.

задан 8 Июл '15 3:06

изменен 8 Июл '15 22:07

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@epimkin, задача вначале была такой - Хм... так у Вас в степени корни стоят?...хотя это не сильно изменит рассуждения ...

(8 Июл '15 3:24) all_exist
1

@epimkin: задачи этого рода можно свести к свойствам функции $%f(x)=x^{1/x}$%, которая имеет максимум в точке $%x=e$%. Вчера на форуме был пример такого типа. Сюда же относится известная задача о сравнении $%e^{\pi}$% и $%\pi^e$%.

(8 Июл '15 6:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Исходное неравенство эквивалентно $$n > {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}$$ Докажем индукцией, что оно выполняется при $%n \geqslant 3$%.

База индукции: $$n = 3,\,\,\,3 > \frac{{64}}{{27}} = 2\frac{{10}}{{27}}$$

Индукционная гипотеза: Положим неравенство верно для $%n = k$%, то есть $%k > {\left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^k}$% выполняется для $%n = k$%.

Индукционный шаг: Докажем, что из справедливости $%n = k$% следует справедливость $%n = k + 1$%

$$k + 1 = k\left( {1 + \frac{1}{k}} \right) > \left( {1 + \frac{1}{k}} \right){\left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^k} = {\left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^{k + 1}} > {\left( {1 + \frac{1}{{k + 1}}} \right)^{k + 1}}$$

ссылка

отвечен 8 Июл '15 4:32

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$ n > \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $$ Слева выражение не превосходит трёх, что доказывается при выводе второго замечательного предела... остаётся перебрать $%n=1; 2$% ...

ссылка

отвечен 8 Июл '15 3:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,769
×363
×135

задан
8 Июл '15 3:06

показан
529 раз

обновлен
8 Июл '15 6:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru