|
Есть ли доказательство такого неравенства: при каких целых $%n$% выполняется неравенство $%n^{(n+1)}>(n+1)^n$%? Подбором я нашел $%n$%, а можно ли это доказать. задан 8 Июл '15 3:06 
epimkin |
|
Исходное неравенство эквивалентно $$n > {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}$$ Докажем индукцией, что оно выполняется при $%n \geqslant 3$%. База индукции: $$n = 3,\,\,\,3 > \frac{{64}}{{27}} = 2\frac{{10}}{{27}}$$ Индукционная гипотеза: Положим неравенство верно для $%n = k$%, то есть $%k > {\left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^k}$% выполняется для $%n = k$%. Индукционный шаг: Докажем, что из справедливости $%n = k$% следует справедливость $%n = k + 1$% $$k + 1 = k\left( {1 + \frac{1}{k}} \right) > \left( {1 + \frac{1}{k}} \right){\left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^k} = {\left( {1 + \frac{1}{k}} \right)^{k + 1}} > {\left( {1 + \frac{1}{{k + 1}}} \right)^{k + 1}}$$ отвечен 8 Июл '15 4:32 
night-raven |
@epimkin, задача вначале была такой - Хм... так у Вас в степени корни стоят?...хотя это не сильно изменит рассуждения ...
@epimkin: задачи этого рода можно свести к свойствам функции $%f(x)=x^{1/x}$%, которая имеет максимум в точке $%x=e$%. Вчера на форуме был пример такого типа. Сюда же относится известная задача о сравнении $%e^{\pi}$% и $%\pi^e$%.