$%7(x-1)^{\frac 1 3}<5+(\frac {x+5}7)^3$%.
Чего-то не дается. Попробуйте, пожалуйста.

задан 10 Июл '15 0:51

изменен 13 Июл '15 1:25

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

Оно в общем случае неверно. Пусть $%x=9$%. Тогда слева 14, справа 13. Или имелось в виду, что его надо не доказать, а решить?

(10 Июл '15 0:58) falcao

@falcao, решить, конечно же, извините. Но, кажется, там ничего хорошего не получается: графики построил. Автор мог и с ошибкой написать: над одним его примером бились дня два, потом он условие исправил

(10 Июл '15 1:13) epimkin
1

@epimkin: думаю, здесь опечатка в условии: слагаемое в правой части должно быть 6, а не 5. Тогда всё просто решается: корнями будут 2 и 9, а само неравенство принимает вид $%f^{-1}(x) < f(x)$%, где $%f$% возрастает. Тогда всё сводится к неравенству $%x < f(x)$%. Это предположение более чем естественно, так как 6 легко могло превратиться в 5 -- тем более, что одно 5 уже есть. И тут сразу идея обратной функции работает.

(10 Июл '15 1:18) falcao

@falcao, ответьте поподробнее с шестеркой (не обязательно сегодня). Это я для себя: учусь.

(10 Июл '15 1:25) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим исправленный и несколько более общий вид неравенства -- с корнем кубическим, чтобы обе части были определены на всей числовой прямой: $$7\sqrt[3]{x-1} < 6+\left(\frac{x+5}7\right)^3.$$ Применяя замену $%t=x-1$%, перепишем неравенство в таком виде: $$7\sqrt[3]t-6 < \left(\frac{t+6}7\right)^3.$$ Обозначим функцию в правой части этого неравенства через $%f(t)$%. Она монотонно возрастает на всей числовой прямой, и принимает все значения, потому имеет всюду определённую обратную.

Если $%y=f(t)$%, то $%t=7\sqrt[3]y-6=f^{-1}(y)$%, то есть наше неравенство имеет вид $%f^{-1}(t) < f(t)$%. Ясно, что при $%f(t)=t$% имеет место равенство; при $%f(t) > t$% ввиду возрастания верно $%t > f^{-1}(t)$%, и неравенство для этого случая справедливо. Наконец, при $%f(t) < t$% выполнено неравенство $%t < f^{-1}(t)$%, и получается итоговое неравенство в другую сторону.

Таким образом, нам надо решить неравенство $%f(t) > t$%, то есть $%(t+6)^3-7^3t > 0$%. Число $%t=1$% является очевидным корнем кубического многочлена. Удобно положить $%z=t-1$% , и неравенство примет вид $%(z+7)^3-7^3(z+1) > 0$%, то есть $%z(z^2+21z-196) > 0$%. Корни квадратного уравнения видны из теоремы Виета: это $%7$% и $%-28$%. Таким образом, $%(z+28)z(z-7) > 0$%, что означает $%(x+26)(x-2)(x-9) > 0$%. Ответом будет $%x\in(-26;2)\cup(9;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 10 Июл '15 2:16

@falcao, спасибо. Все понятно. Разбаловали меня здесь, на этом форуме: знаю, что решат, сам мышей перестал ловить (но стараюсь, не совсем уж опустился).

(10 Июл '15 2:26) epimkin

Кстати, там и был корень кубический, это я не знаю, как корень кубический записать, корень квадратный -sqrt, а кубический не знаю

(10 Июл '15 2:28) epimkin

@epimkin: в $%\TeX$%'е кубический корень записывается как \sqrt[3] -- это работает в "местных" скобках, которые "доллар+процент".

(10 Июл '15 2:47) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,228
×251
×206

задан
10 Июл '15 0:51

показан
532 раза

обновлен
10 Июл '15 2:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru