Доброго времени суток!

Встретилось довольно сложное неравенство, собственно, вот оно:

$%4{(1 - tgx)^{2004}} + {(1 + tgx)^{2006}} \geqslant {2^{2006}}$%

Пожалуйста, помогите с решением, интересно добраться до сути.

задан 12 Июл '15 21:38

10|600 символов нужно символов осталось
3

Положим $%1002=n$% и $%f(t)=4(1-t)^{2n}+(1+t)^{2n+2},$% $$f'(t)=-8n(1-t)^{2n-1}+(2n+2)(1+t)^{2n+1},$$ $$f''(t)=8n(2n-1)(1-t)^{2n-2}+(2n+2)(2n+1)(1+t)^{2n}>0.$$ Из положительности второй производной следует, что первая производная монотонная и у неё ровно один корень, Отсюда следует, что у исходной функции есть только один экстремум - локальный минимум.

Поскольку $%f(-1)=f(1)=2^{2n+2}$%, то локальный минимум достигается в некоторой точке $%-1< t_0<1$%, а функция убывает при $%-\infty< t< t_0$% и возрастает при $%t_0< t <\infty$%.

Следовательно решением неравенства $$f(t)=4(1-t)^{2n}+(1+t)^{2n+2}\ge2^{2n+2}$$ будет $%-1\le t$% и $%t\ge1$%.

ссылка

отвечен 12 Июл '15 22:22

Да, ответ именно такой, спасибо большое!

(12 Июл '15 22:38) Мистер Уизли
1

Здесь можно также без производной обойтись. Неравенство имеет вид $$\left(\frac{1-t}2\right)^{2n}+\left(\frac{1+t}2\right)^{2n+2}\ge1.$$ Если $%|\frac{1-t}2|\ge1$% или $%|\frac{1+t}2|\ge1$%, то неравенство верно. Это даёт $%t\le-1$% или $%t\ge1$%. Если же обе величины по модулю меньше 1 (при $%-1 < t < 1$%), то сумма в левой части строго меньше $%\frac{|1-t|}2+\frac{|1+t|}2=1$%.

(13 Июл '15 0:10) falcao

@falcao: Достаточно поделить на $%2^{2n+2}$%. Красиво!

(13 Июл '15 0:15) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,015
×377

задан
12 Июл '15 21:38

показан
883 раза

обновлен
13 Июл '15 0:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru