Вопрос возник в связи с этой задачей.

Будем рассматривать такие $%a\in\mathbb N$%, $%b\in\mathbb Z$%, чтобы числа вида $%2^na+b$% являлись точными квадратами для как можно большего числа значений $%n=1,2,3,4,\ldots$%. Легко видеть, что при $%a=60$%, $%b=-119$% получаются четыре точных квадрата: $%2a+b=1=1^2$%, $%4a+b=121=11^2$%, $%8a+b=361=19^2$%, $%16a+b=841=29^2$%. Следующее значение $%32a+b=1801$% точным квадратом уже не является.

А теперь собственно вопросы (ответы мне на данный момент не известны).

а) Существуют ли $%a\in\mathbb N$%, $%b\in\mathbb Z$% такие, что $%2^na+b$% является точным квадратом для всех $%1\le n\le5$%?

б) Существуют ли $%a\in\mathbb N$%, $%b\in\mathbb N$% такие, что $%2^na+b$% является точным квадратом для всех $%1\le n\le4$%?

задан 13 Июл '15 6:14

10|600 символов нужно символов осталось
2

a = 4110224238120; b = 74019764836081 <--- числа для пункта б)

см. ссылку: поиск чисел

ссылка

отвечен 6 Апр '16 21:09

изменен 8 Апр '16 20:36

По-моему, такой пример ещё не звучал. Поэтому ответ вполне можно принять.

(7 Апр '16 2:05) falcao

@falcao: если нужно, могу завтра написать вкратце, как эти числа были найдены (но их поиском занимался человек, которого нет на форуме).

(7 Апр '16 2:42) stander

@stander: да, это было бы неплохо!

(7 Апр '16 3:09) falcao

@stander: спасибо за подробную информацию!

Промежуточные уравнения этого типа здесь упоминались, но они имели достаточно сложный вид, и я так понимаю, что дальше никто продвигаться просто не стал. А здесь получился интересный пример, причём эти числа просто подбором вряд ли можно обнаружить, потому как они большие.

(8 Апр '16 23:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть первые два значения (2a+b и 4a+b) равны $%x^2$% и $%y^2$% соответственно. Тогда третье должно быть равно $%3y^2-2x^2$%, а четвертое $%7y^2-6x^2$%. Таким образом, получаем два уравнения типа Пелля: $%3y^2-2x^2=z^2$%, $%7y^2-6x^2=t^2$%. Каждое уравнение имеет свою серию (бесконечно много) решений, при этом для первого уравнения отношения $%y/x$% стремятся к $%\sqrt{3/2}$%, а для второго - к $%\sqrt{7/6}$%. Так что если решение системы, отличное от $%(x,y,z,t)=(1,11,19,29)$% не обнаружилось на переборе для маленьких квадратов, то потом его тоже, скорее всего, нет. Но можно и строго порешать систему уравнений Пелля, видимо, с тем же отрицательным результатом...

ссылка

отвечен 13 Июл '15 14:33

@knop: эта идея, наверное, не проходит. В правой части уравнения находится не константа, как у уравнения Пелля, а число, которое тоже растёт. То есть эти уравнения аналогичны пифагорову, где отношение x/y может принимать разнообразные значения, выражаемые через рациональный параметр. Здесь я действовал примерно так же, но при сравнении решений одного и другого уравнения получилось нечто достаточно не прозрачное.

(13 Июл '15 20:56) falcao

Что с того, что она растёт? Уравнение вида $%7y^2-6z^2=n^2$% равносильно $%7a^2-6b^2=1$%.

(13 Июл '15 21:54) knop
2

@knop: разница есть, потому что после этого преобразования $%a$%, $%b$% становятся рациональными, и перестают стремиться к бесконечности. Отношение $%a/b$% здесь представляется параметрически в виде отношения двух квадратных трёхчленов от рационального параметра k. Он может принимать любые рациональные значения, за счёт чего возникает бесконечно много решений, у которых ratio не является близким к корню из 7/6.

(13 Июл '15 23:33) falcao

Да, виноват, - я почему-то считал, что у каждого из уравнений целые решения есть только кратные z и t соответственно. Поиск решений на компе сразу показал, что я неправ.

(14 Июл '15 8:29) knop

Еще одна четверка из пункта а) a=240, b = -476. Тогда 2a+b = 4, 4a+b = 484, 8a+b = 1444, 16a+b = 3364, все они полные квадраты

(14 Июл '15 13:49) Роман83
2

@Роман83 От умножения набора (1,11,19,29) на 4, в общем, ничего нового не появляется. С тем же успехом его можно на любой точный квадрат домножить и получить на этом бесконечную серию решений. Просто так как $%2a+b$% при этом всегда будет меньше, чем $%(4a+b)-(2a+b)$%, то $%b$% всегда будет отрицательным.

(14 Июл '15 13:58) knop

@knop: да, точно. понял.

(14 Июл '15 14:20) Роман83
1

Следующая четверка взаимно простых квадратов - $%(3361,3251,3019,2491)$%. Они соответствуют $%a=-363660$%, $%b=12023641$%.

(14 Июл '15 15:00) knop
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×917
×168

задан
13 Июл '15 6:14

показан
4065 раз

обновлен
8 Апр '16 23:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru