Найдите все тройки натуральных чисел $%(a,b,c)$% такие, что $%ab-c$%, $%bc-a$% и $%ca-b$% - степени двойки (с неотрицательным целым показателем).

задан 13 Июл '15 13:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%a \ge b \ge c $%

1) $%c>1$%, т.к. $%ac>b, ab>c$%

2) Пусть $%b= c$%. Тогда $%ab - b = (a-1)b -$% степень двойки. Значит $%b = 2^m, a = 2^n + 1,$%

Получили тройки $%2,2,2$% и $%2, 2, 3$%

3) Если $%a \ge b>c \ge 2$%

Если $%ab - c= 2^k, ac - b = 2^l, k>l \ge 2,$% то складывая и вычитая эти тождества получим $%2^l|(a+1)(b-c) и 2^l | (a-1)(b+c)$%

а) если $%a$% четно, то $%2^l | b-c,$% а значит $%(b-c) \ge ac - b, 2b \ge (a+1)c$%

Это невозможно, т.к. $%c \ge 2, a \ge b$%

б) если $%а$% нечетно, то одно из чисел $%(a-1), (a+1)$% не делится на $%4$%. Пусть $%(a-1).$%

Тогда $%2^{l-1}|(b-c), 2^l$% делит $%2(b-c).$%

Если $%2(b-c) \ge 2^{l+1} = 2(ac-b)$%, то $%2b \ge c(a+1)$%, что невозможно.

Значит $%2b - 2c = ac - b$%

$%3b = (a+2) c$%

При $%с \ge 3$% это невозможно, т.е. $%c=2$%

$%2a+4 = 3b$%

$%bc - a$% нечетно, т.е равно $%1$%, откуда $%2(2a+4)/3- a = (a+8)/3$% равно $%1$%. Невозможно.

в) $%(a+1)$% не делится на $%4, 2^{l-1}|(b+c)$%

Значит $%2(b+c)$% делится на $%ac - b$%

Если $%2(b+с)\ge 2(ac-b)$%, то $%2b \ge (a-1)c.$%

При $%c \ge 3$% это $%\ge 3a - 3 \ge 3b-3$%, то равно только при $%b=c=3$%, что не подходит.

При $%c=2$% $%2b \ge 2(a-1)$%, т.е. $%a=b$% или $%a=b+1.$%

Из соображений четности $%bc - a = 2b-a = 1,$% значит $%b=1$% (не подходит) или $%b=2$% (не подходит).

Значит $%2(b+c) = ac- b, 3b = (a-2)c$%. Если $%c \ge 5, 3b \ge 5b - 10> 3b$%, т.к. $%b>c \ge 5$% Значит выполнен один из 3 вариантов:

а) $%c = 3, a = b+2$% Тогда $%b(b+2) - 3 = (b-1)(b+3)$% степень двойки, значит $%b-1, b+3$% степени двойки, а значит $%b=5$%

Легко убедиться, что $%3,5,7$% подходящая тройка.

б) $%c=4, 3b = 4(a-2), a<8. a=7$% не подходит, значит $%a=5, b=4.$% Но $%bc - a = 11$% не подходит.

в) $%c=2, 3b = 2(a-2)$%. Из соображений четности

$%bc - a = 2b - a = 4(a-2)/3 - a = (a - 8)/3 = 1 a = 11, b = 6, с=2$% $%66-2$% степень $%2.$% $%2,6,11.$%

Итого подошли расклады $%(2,2,2), (3,5,7), (2, 2, 3) (2,6,11.)$%

ссылка

отвечен 14 Июл '15 11:16

изменен 14 Июл '15 13:44

@Роман83: последняя тройка не подходит, потому что $%ab-c=-1$%. Да, и числа 2,6,11 подходят!

(14 Июл '15 11:19) falcao

@falcao: немного жаль:)

(14 Июл '15 11:41) Роман83
1

@Роман83: а чего именно? Мне кажется, у Вас основной анализ проведён -- надо только проверить лишний раз все рассуждения и "подчистить".

(14 Июл '15 11:57) falcao

@falcao: чуть позже все исправлю.

(14 Июл '15 12:02) Роман83

да, 66-2 = 64 степень двойки, так что в самом конце я зря выкинул 2,6,11. С последней тройкой - в 2) должен быть минус 1, а не плюс, тогда вместо нее встанет тройка (2, 2, 3).

(14 Июл '15 13:38) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,139
×174

задан
13 Июл '15 13:18

показан
2081 раз

обновлен
14 Июл '15 13:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru