Четырёхугольник $%ABCD$% вписан в окружность диаметра $%D = 10$%, которым является одна из двух пересекающихся диагоналей. Один из внутренних углов четырёхугольника равен $$A = arc cos (0,43 - 0,24\times3^{1/2})^{1/2}$$, произведение длин всех сторон равно $$M = 1200\times3^{1/2}$$, суммы длин противоположных сторон равны соответственно $$K = 11$$ и $$L = (8 + 5\times3^{1/2})$$. Найти длины сторон четырёхугольника.

задан 18 Июл '12 20:41

изменен 28 Июл '12 9:44

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%ABCD$% - заданный четырехугольник, у которого диагональ $%AC$% - диаметр описанной окружности. alt text

Обозначим стороны четырехугольника через $%x, y, z, t$%, тогда для нахождения сторон нужно решить систему уравнений:$$\left\{\begin{aligned}x+z=110,\\y+t=80+50\cdot3^\frac{1}{2},\\x^2+y^2=100^2,\\z^2+t^2=100^2.\end{aligned}\right.$$. Система четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Для чего нужны произведение сторон, угол? Дополнение. Решение приведено для первой версии задачи. Там суммы противоположных сторон равны $%110$% и $%80+50\cdot3^\frac{1}{2}$%, а диаметр $%100$%.

ссылка

отвечен 26 Июл '12 22:11

изменен 2 Авг '12 20:13

Вы не ответили на вопрос задачи, потому что решать Ваши уравнения очень громоздко, учитывая наличие во втором уравнении подкоренного сомножителя. Поэтому и я, столкнувшись с этими уравнениями, пошёл другим путём, где потребовались данные, наличие которых вызвало Ваше удивление, но путь к ответу оказался гораздо менее трудоёмким.

(27 Июл '12 0:26) nikolaykruzh...

Уравнения @Anatoliy довольно простые, они решаются исключением переменных. Дорешать такую систему - дело стандартное зачем же @Anatoliy этим заниматься? Правда Вы, видимо, считаете их сложными из-за того, что числовой коэффициент иррационален...
Если Вы добавляете к этой системе еще какие-то условия, нужно проверить их совместность, т.е., что они дают то же решение.

(27 Июл '12 0:54) DocentI

Можно бы использовать избыточные данные как проверочные, но... нет ответа. Я знаю ответ,а @Anatoliy он не нужен. Разойдёмся с миром.

(27 Июл '12 8:52) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
0

@Anatoliy

Мне кажется, что Вы ошиблись и правильная система:

$$\left\{\begin{aligned}x+z=11,\\y+t=8+5\cdot3^\frac{1}{2},\\x^2+y^2=100,\\z^2+t^2=100.\end{aligned}\right.$$

Ее решение

Для чего нужны произведение сторон, угол?

Произведение сторон, соглашусь, излишне. Угол не понял зачем.

ссылка

отвечен 2 Авг '12 1:40

изменен 2 Авг '12 2:26

Изначально в условии были данные, которые отображены в моем решении.

(2 Авг '12 12:59) Anatoliy

Подкорректируйте, пожалуйста, ответ, а то я чуть мозг не сломал, почему величины другие.

(2 Авг '12 14:13) gecube

Я использовал для решения теорему Птолемея: "Сумма произведений длин противоположных сторон четырёхугольника, вписанного в окружность, равна произведению его диагоналей". Если возвести это равенство в квадрат, то произведение длин всех четырёх сторон известно, и уравнения легко решаемы. Угол нужен для определения длины другой диагонали. Уравнения, которые вы оба представили, я тогда решить не смог из-за невозможности избавиться от иррациональности. Поэтому появился Птолемей. Правку сделал позже, заметив, что один нуль просто лишний.

(3 Авг '12 17:38) nikolaykruzh...

Ну, по ссылке решение приведен ответ, полученный с помощью системы Wolfram Alpha. Честно скажу, что любые уравнения мне решать влом. От иррациональности можно в целом не избавляться. Действительно, ведь и $%3^\frac{1}{2}$% и $%Pi$% - тоже числа, но просто по особому записываемыми. Касательно того, откуда взялись уравнения - так очень просто. 1 и 2 - из соображений касательно суммы противоположных сторон. 3 и 4 - прямоугольные треугольники ABC и ACD. А прямоугольные они, потому что любой треугольник, построенный на диагонали окружности и вершина которого лежит на ней - прямоугольный.

(3 Авг '12 19:11) gecube

Система Wolfram Alpha - это специальная компьютерная программа для решения уравнений? Так? Я о ней впервые слышу. Поэтому я решал вручную и не смог осилить. Вообще говоря, вы, молодёжь, - контингент людей, очень продвинутых. Мне всё равно за вами не успеть, как автомобилю не успеть за самолётом. И Ссылку я открыл чисто случайно, где обнаружил решение. Компьютер и его возможности я, к сожалению, знаю плохо. Тем не менее, жить надо, гнаться за вами и за прогрессом - необходимая обязанность. За Ссылку - спасибо!

(3 Авг '12 20:10) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,301

задан
18 Июл '12 20:41

показан
2541 раз

обновлен
3 Авг '12 20:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru