По кругу расположено 2N+1 число. Известно, что каждое число не меньше суммы двух своих соседей, и каждое число не больше суммы двух наиболее удаленных от него чисел. Найдите все такие расстановки

задан 14 Июл '15 20:18

изменен 14 Июл '15 22:45

1

@sapere aude: нужно внести ясность в условие. Пусть $%a,b,c$% идут подряд. Если понимать фразу про каждое число буквально, то окажется, что $%b\ge a$%, $%b\ge c$%. В таком случае все числа попарно равны. Ясно, что не это имелось в виду. Видимо, надо точнее выразить смысл -- типа того, что никакое число не может быть меньше обоих своих соседей, или как-то ещё. То же для наиболее удалённых.

(14 Июл '15 20:25) falcao

Прошу прощения, речь шла о суммах.

(14 Июл '15 22:46) sapere aude

Если просуммировать все неравенства, то получится, что сумма всех чисел и сверху, и снизу ограничена 0, но тогда сумма всех чисел 0. Для $%N=0$% очевидно, что все вообще 0, дальше, наверное, тоже, но уже неочевидно.

(14 Июл '15 23:27) sapere aude

@sapere aude: Из суммирования неравенств следует, что все неравенства в действительности равенства.

(14 Июл '15 23:50) EdwardTurJ

@EdwardTurJ Из суммирования каких именно неравенств? Там есть $%2N+1$% неравенство в одну сторону и столько же в другую.

(15 Июл '15 0:12) sapere aude
10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим сумму всех чисел через $%S$%. Сложив неравенства первого типа, получим, что $%S\le0$%, а сложив неравенства второго типа, получим, что $%S\ge0$%. Отсюда $%S=0$% и все неравенства в действительности равенства.

Пускай $%a_i,a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3}$% - четыре идущих подряд числа. Тогда $%a_{i+1}=a_i+a_{i+2}$% и $%a_{i+2}=a_{i+1}+a_{i+3}$%. Отсюда $%a_i=-a_{i+3}$% для всех $%i$%.

Поскольку количество чисел нечётно, то продолжая по кругу (один раз, если количество чисел кратно трём или трижды в противном случае) равенства $%a_1=-a_4=a_7=...$%, в конце концов получим $%a_1=-a_1$%, то есть все числа нулевые.

ссылка

отвечен 15 Июл '15 0:19

изменен 15 Июл '15 0:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,520
×1,297
×460

задан
14 Июл '15 20:18

показан
548 раз

обновлен
15 Июл '15 0:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru