|
По кругу расположено 2N+1 число. Известно, что каждое число не меньше суммы двух своих соседей, и каждое число не больше суммы двух наиболее удаленных от него чисел. Найдите все такие расстановки задан 14 Июл '15 20:18 
sapere aude |
|
Обозначим сумму всех чисел через $%S$%. Сложив неравенства первого типа, получим, что $%S\le0$%, а сложив неравенства второго типа, получим, что $%S\ge0$%. Отсюда $%S=0$% и все неравенства в действительности равенства. Пускай $%a_i,a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3}$% - четыре идущих подряд числа. Тогда $%a_{i+1}=a_i+a_{i+2}$% и $%a_{i+2}=a_{i+1}+a_{i+3}$%. Отсюда $%a_i=-a_{i+3}$% для всех $%i$%. Поскольку количество чисел нечётно, то продолжая по кругу (один раз, если количество чисел кратно трём или трижды в противном случае) равенства $%a_1=-a_4=a_7=...$%, в конце концов получим $%a_1=-a_1$%, то есть все числа нулевые. отвечен 15 Июл '15 0:19 
EdwardTurJ |
@sapere aude: нужно внести ясность в условие. Пусть $%a,b,c$% идут подряд. Если понимать фразу про каждое число буквально, то окажется, что $%b\ge a$%, $%b\ge c$%. В таком случае все числа попарно равны. Ясно, что не это имелось в виду. Видимо, надо точнее выразить смысл -- типа того, что никакое число не может быть меньше обоих своих соседей, или как-то ещё. То же для наиболее удалённых.
Прошу прощения, речь шла о суммах.
Если просуммировать все неравенства, то получится, что сумма всех чисел и сверху, и снизу ограничена 0, но тогда сумма всех чисел 0. Для $%N=0$% очевидно, что все вообще 0, дальше, наверное, тоже, но уже неочевидно.
@sapere aude: Из суммирования неравенств следует, что все неравенства в действительности равенства.
@EdwardTurJ Из суммирования каких именно неравенств? Там есть $%2N+1$% неравенство в одну сторону и столько же в другую.