Здравствуйте!
Задача такая.
Найдите все положения равновесия системы: $$\begin{cases} x' = y \\ y' = \sin(x + y) \end{cases}$$

и исследуйте их на устойчивость.

Такой точно не было. Я вот не пойму. Допустим, я нашла 2 точки $%(2k\pi, 0), ((2k + 1)\pi, 0)$%. А как их дальше исследовать? Что делать при линеаризации, когда получатся синусы? Синус просто заменить на аргумент, так как он стремится к нулю? Надеюсь, это мой последний опус на сегодня. (

задан 15 Июл '15 5:43

И в чем разница между этими двумя точками при исследовании получается? :(

(15 Июл '15 5:58) Math_2012

Может, там во втором случае будет аргумент с минусом, так как еще $%\pi$% прибавляется?

(15 Июл '15 6:01) Math_2012

Кажется, я что-то поняла в итоге. Хотя, может, и неправильно.

(15 Июл '15 6:04) Math_2012
10|600 символов нужно символов осталось
2

В общем случае, если найдена точка равновесия $%(x_0,y_0)$%, можно рассмотреть замену $%u=x-x_0$%, $%v=y-y_0$%, и далее рассматривать систему в окрестности нуля.

Для точек вида $%(2\pi k,0)$% получится система $%u'=v$%, $%v'=\sin(u+v)$%, где далее можно воспользоваться эквивалентностью. Линеаризованное второе условие имеет вид $%v'=u+v$%. Составляем матрицу, находим характеристическое уравнение $%\lambda^2-\lambda-1=0$%. Корни вещественные, разных знаков. Это седло (неустойчивое положение).

Для точек второго вида получится система $%u'=v$%, $%v'=\sin(u+v+\pi)=-\sin(u+v)\approx-u-v$%. Характеристическое уравнение $%\lambda^2+\lambda+1=0$%. Корни мнимые с отрицательной вещественной частью. Это устойчивый фокус.

ссылка

отвечен 15 Июл '15 6:09

В принципе в итоге я и сама догадалась. :)

(15 Июл '15 7:49) Math_2012
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,176
×18
×17

задан
15 Июл '15 5:43

показан
1414 раз

обновлен
15 Июл '15 7:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru