Доброго времени суток. Сейчас повторяю тему перестановок. Хотелось бы узнать, верно ли я понимаю, что из себя представляет порядок перестановки?

Порядок перестановки есть такое однозначно определенное натуральное число $%k,$% что все различные степени $%q < k$% содержатся во множестве $%π=\left\{ e,π,…,π^q \right\}$% и $%π^k=e$%, где $%e$% -- тождественная перестановка.

И еще небольшой вопрос, на понимание циклической формы записи (на композицию перестановки). Допустим имеется перестановка $$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 1 & 6 & 5 & 3 & 4 \end{pmatrix}.$$Тогда ее можно представить как $%(1 \; 2)(3\; 4 \;5\;6).$% Верно?


Еще вопрос: цикл длины и порядок перестановки -- одно и то же? Я думаю, что нет, это разные понятия. Хотя они и численно совпадают. Не могу себе это объяснить более формально.

задан 15 Июл '15 8:15

изменен 15 Июл '15 9:42

1

Определение порядка перестановки дано несколько неудачно. Проще сказать, что $%\pi^k=e$%, но $%\pi^q\ne e$% при $%1\le q < k$%.

Представление в виде циклов не такое: должно быть $%(12)(3645)$%. После 3 в цикле идёт 6, так как 3 переходит именно в 6.

Если подстановка является циклом, то её порядок совпадает с длиной цикла. В общем случае это не так: порядок равен наименьшему общему кратному длин независимых циклов. Для подстановки $%\sigma$% из условия порядок равен 4.

(15 Июл '15 15:57) falcao

Иначе говоря, порядок равен максимальной длине цикла из всего произведения независимых циклов?

(15 Июл '15 16:17) bonaqua
1

@bonaqua: пусть длины независимых циклов равны 2 и 3. Тогда порядок перестановки равен 6. Как было сказано выше, это всегда есть наименьшее общее кратное длин циклов. То есть это не максимальная длина цикла. Если длины циклов равны 2 и 4, то тогда НОК тоже равен 4, но это совпадение имеет место только для узкого частного случая.

(15 Июл '15 16:36) falcao

Во как! Читаю Кострикина -- молчит о НОК. Спасибо большое, буду теперь знать.

(15 Июл '15 16:50) bonaqua
2

Этот факт часто в виде упражнения предлагают. Оно несложное: здесь нужно, чтобы все циклы после возведения в степень стали равны единице, а тогда показатель должен делиться на порядки циклов, то есть на их длины.

(15 Июл '15 17:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,766
×62

задан
15 Июл '15 8:15

показан
487 раз

обновлен
15 Июл '15 17:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru