Пусть X - плоскость. Является ли топологической структурой набор множеств, состоящих из пустого множества, X и открытых кругов с центром в начале координат и всевозможными радиусами?

  1. Правильно ли здесь выбрано слово "состоящих", а не "состоящий"? Первый вариант усложняет задание.
  2. Наличие пустого множества и X в структуре известно, осталось проверить замкнутость операций объединения и пересечения.
  3. Объединение. Если мы объединяем несколько открытых кругов, то наибольший из них поглощает все остальные, поэтому операция объединения замкнута.
  4. Пересечение. В этом случае результатом операции будет наименьший открытый круг из всего семейства кругов, т.к. это - единственное множество точек, общее для всех кругов.
  5. Правильно ли я рассуждаю? Как записать это математически при помощи символов?
  6. Как здесь вводить формулы, которые не должны отображаться на новой строке? Символ $% из ФАКа не работает.

задан 16 Июл '15 20:26

изменен 16 Июл '15 21:25

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

10|600 символов нужно символов осталось
0

Правильно "состоящий", так как это относится к набору открытых множеств.

В пункте 4 проверяется замкнутость относительно конечных пересечений. Ясно, что в этом случае пересечением будет открытый круг наименьшего радиуса (формул здесь можно даже не писать).

В пункте 3 речь идёт о замкнутости относительно любых объединений, в том числе бесконечных. Поэтому здесь надо рассуждать аккуратнее.

Введём обозначения, полагая, что $%D_r$% есть открытый круг радиусом $%r$%. Сюда же включим случаи $%r=0$% (пустое множество) и $%r=\infty$% (это будет вся плоскость $%X$%).

Рассмотрим объединение вида $%\bigcup\limits_{i\in I}D_{r_i}$%, где $%I$% -- произвольное множество индексов. Обозначим через $%r$% точную верхнюю грань множества чисел вида $%r_i$%, то есть $%r=\sup\,\{r_i\mid i\in I\}$%. При этом возможно, что $%r=\infty$%. Из определений легко следует, что в объединении получится в точности $%D_r$%, то есть свойство замкнутости относительно объединений имеет место.

Для формул, занимающих отдельную строку, здесь всё так же, как в обычном $%\TeX$%'е, то есть это $$ в начале и в конце.

ссылка

отвечен 16 Июл '15 21:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×520
×279

задан
16 Июл '15 20:26

показан
361 раз

обновлен
16 Июл '15 21:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru