В государстве некоторые пары городов соединены беспосадочными (двусторонними) авиарейсами. Новый министр авиации решил раз в месяц перестраивать маршрутную сеть по следующему принципу: в следующем месяце будут соединены рейсами те и только те пары городов, для которых сейчас существует маршрут ровно с одной пересадкой. Через полгода выяснилось, что из любого города можно долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Докажите, что если реорганизация будет продолжаться, то и через год можно будет из любого города долететь до любого другого.

наверное я что-то не понимаю, но почему не подходит такой контрпример: имеем 3 города A,B,C имеем ребра (A,B),(B,C), тогда в следующем месяце имеем ребро (A,C), а еще через месяц вообще не будет ребер

задан 20 Июл '15 0:52

@sapere aude: то, что Вы рассмотрели, не будет контрпримером. Здесь не выполнено условие, что через полгода из любого города можно добраться до любого. Допустим даже, что "полгода" -- это время после первого реорганизации. Тогда у нас имеется только рейс (A,C), и до города B добраться нельзя, то есть связность графа нарушилась.

(20 Июл '15 2:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть произошла одна реорганизация, и граф остался связным (если он перестал быть связным, и какая-то часть городов отделилась, то она и дальше будет отделена). Это значит, что между любыми двумя городами в исходном графе имелся путь чётной длины. Обратно, если это условие выполнено, то рассмотрим кратчайший путь чётной длины в исходном графе между произвольными двумя вершинами. Он является произведением путей длины 2, то есть в реорганизованном графе от одной вершины к другой тоже можно будет добраться. При этом мы не учитываем пути вида $%ee^{-1}$% по какому-то ребру и обратно.

Достаточно проверить, что реорганизованный граф будет не только связным, а ещё и сохранит упомянутое выше свойство существования путей чётной длины между любыми двумя вершинами. Действительно, исходный граф не может быть двудольным, так как для него все длины путей из вершин одной категории в вершины другой категории будут иметь нечётную длину. Но тогда в графе имеется простой цикл нечётной длины. За счёт этого, проходя такой цикл нужное число раз, мы можем обеспечить существование между любыми двумя вершинами пути любой чётности, а также добиться того, чтобы существовал приведённый путь (без подпутей вида $%ee^{-1}$%), длина которого делится на 4. Последнее гарантирует, что реорганизованный граф обладает требуемым свойством.

ссылка

отвечен 20 Июл '15 3:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,365
×1,232
×1,104
×164

задан
20 Июл '15 0:52

показан
696 раз

обновлен
20 Июл '15 3:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru