|
В последовательности действительных чисел сумма любых семи последовательных членов отрицательна, а сумма любых одиннадцати последовательных членов положительна. Найти наибольшее число членов такой последовательности. судя по всему это задачка решается методом "оценка + пример", но у меня нет соображений ни по одной из частей( задан 22 Июл '15 0:24 
sapere aude |
|
$%16$% чисел: $%5,5,-13,5,5,5,-13,5,5,-13,5,5,5,-13,5,5$% удовлетворяют условию задачи. Пускай у нас теперь $%17$% чисел $%a_1,....a_{17}$%. Тогда $$a_1+...+a_7<0,$$ $$a_2+...+a_8<0,$$ $$...$$ $$a_{11}+...+a_{17}<0.$$ и $$0< a_1+...+a_{11},$$ $$0< a_2+...+a_{12},$$ $$...$$ $$0< a_7+...+a_{17}.$$ Сложив все неравенства, получим $$0<0.$$ Противоречие. отвечен 22 Июл '15 0:54 
EdwardTurJ @EdwardTurJ А как Вы додумались до числа 16? 7 + 11 - НОД(7, 11)?
(22 Июл '15 0:56)
sapere aude
@sapere aude: есть такой общий факт, что если слово имеет длину m+n-НОД(m,n), являясь m-периодичным и n-периодичным одновременно, то периоды являются степенями одного и того же слова. Это не совсем то же самое, но по сути факт довольно близкий.
(22 Июл '15 1:10)
falcao
@sapere aude: Составил приведенные неравенства для $%n$% чисел так, чтобы получить $%0<0$%. Отсюда получил $%n=17$%.
(22 Июл '15 1:19)
EdwardTurJ
@falcao мне просто показалось, что ответ как в этой задачи, но это наверное совпадение math.hashcode.ru/questions/68752/ @EdwardTurJ спасибо!
(23 Июл '15 0:39)
sapere aude
@sapere aude: эти вещи идейно связаны между собой. Я не уверен, что одно к другому можно свести, но в "механизмах" доказательства можно усмотреть нечто общее.
(23 Июл '15 1:11)
falcao
|
|
Здесь уже дано полное решение задачи, и оно принято, но я добавлю несколько слов по поводу способа нахождения примера. Прежде всего, рассмотрим ещё один способ решения для достаточно длинной последовательности. Предположим, что у нас сработал алгоритм Евклида в том смысле, что мы от чисел 11 и 7 смогли перейти к числу 4, доказав, что сумма любых четырёх последовательных чисел положительна. Тогда достаточно легко получится противоречие. На какой длине последовательности это возможно? Рассмотрим любые 4 последовательных члена. Если мы можем их включить в число 11 членов, то всё ясно. Мы не можем этого сделать, если справа и слева от 4 членов имеется по 6 членов, то есть всего их 6+4+6=16. Для такого случая мы далее будем строить пример. А если членов 17 или более, то 7 членов слева или справа от четырёх найдутся, и мы получим, что у любой четвёрки сумма положительна. Тогда это же верно для любых 8 членов, идущих подряд, а один фиксированный член мы умеем включать в состав восьми. Из этого ясно, что любой член положителен, что даёт противоречие. Теперь о принципе построения примера. Удобно строить периодическую последовательность -- чтобы проще было следить за свойствами. Пусть последовательность из 16 членов является и 11-периодической, и 7-периодической. Как она выглядит? Ясно, что номер 1 равен номерам 8 и 12, и так далее. Исходя из этого соображения, строится такая длинная "цепочка" (линейный граф): 11 - 4 - 15 - 8 - 1 - 12 - 5 - 16 - 9 - 2 - 13 - 6. Члены с этими номерами равны числу $%a$%. Остальные 4 члена -- это 7 - 14 - 3 - 10; они тоже равны между собой, то есть равны числу $%b$%. Получается aabaaabaabaaabaa. То есть такой периодический пример всего один. Сумма любых 7 членов здесь равна $%5a+2b$%, а сумма любых 11 членов равна $%8a+3b$% (можно ещё отметить, что коэффициенты здесь -- числа Фибоначчи). Подбирая такой пример, что $%5a+2b < 0$% и $%8a+3b > 0$%, то есть $%40a+16b < 0$%, $%40a+15b > 0$%, видим, что $%b < 0$% и $%a > 0$%. Таким образом, $%\frac38< \frac{a}{-b} < \frac25$%, и в качестве искомого значения подходит медианта двух дробей, то есть $%\frac{3+2}{8+5}$%. Тем самым, можно взять $%a=5$% и $%b=-13$%. отвечен 26 Июл '15 10:07 
falcao |