$%(1+х_1) \cdot (1+х_1+х_2) \cdot ... \cdot (1+х_1+...+х_n)\ge \sqrt {x_1 \cdot x_2 \cdot ... \cdot x_n \cdot (n+1)^{(n+1)}} $%

задан 24 Июл '15 20:41

изменен 24 Июл '15 22:20

%D0%92%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B0's gravatar image


9917

@sapere aude: Уточните условие.

(24 Июл '15 20:47) EdwardTurJ

Корень справа какой степени? Точно квадратный?

(24 Июл '15 21:12) knop

Да, квадратный.

(25 Июл '15 19:03) sapere aude
10|600 символов нужно символов осталось
3

В условии должно подразумеваться, что значения переменных неотрицательны -- в противном случае легко строится контрпример. Если $%x_i=0$% при каком-то $%i$%, то правая часть равна нулю, и неравенство очевидно. Поэтому считаем, что все числа $%x_i$% положительны.

Рассмотрим вспомогательную функцию $%f(x)=\frac{(a+x)^{m/2}}{\sqrt{x}}$% при $%x > 0$% и положительных параметрах $%a$%, $%m$%. Найдём её минимальное значение. Для этого достаточно найти минимум функции $%g(x)=\frac{(a+x)^m}x$% при $%x > 0$%. Находим производную и приравниваем к нулю: $%g'(x)=m(a+x)^{m-1}x^{-1}-(a+x)^mx^{-2}=0$%, откуда $%mx=a+x$%, то есть $%x=\frac{a}{m-1}$%. По знаку производной легко проверяется, что это точка минимума. Поэтому $%g(x)\ge g(\frac{a}{m-1})=a^{m-1}\frac{m^m}{(m-1)^{m-1}}$%, откуда $%f(x)\ge a^{(m-1)/2}\sqrt{\frac{m^m}{(m-1)^{m-1}}}$%.

Разделим обе части неравенства на $%\sqrt{x_n}$% и применим предыдущее неравенство для $%a=1+x_1+\cdots+x_{n-1}$% и $%m=2$%. Получится $%\frac{1+x_1+\cdots+x_n}{\sqrt{x_n}}\ge(1+x_1+\cdots+x_{n-1})^{1/2}\sqrt{\frac{2^2}{1^1}}$%. Далее у нас возникнет множитель $%(1+x_1+\cdots+x_{n-1})^{3/2}$%, который мы разделим на $%\sqrt{x_{n-1}}$% и применим неравенство для случая $%m=3$%, $%a=1+x_1+\cdots+x_{n-2}$%. Появится множитель $%\sqrt{\frac{3^3}{2^2}}$%, и так далее. При этом значение параметра $%m$% увеличивается на единицу. Действуя таким образом, мы в конце получим, что $%\frac{(1+x_1)(1+x_1+x_2)\ldots(1+x_1+\cdots+x_n)}{\sqrt{x_1x_2\ldots x_n}}\ge\sqrt{(n+1)^{n+1}}$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 25 Июл '15 11:02

@falcao Спасибо за красивое решение, я пытался по индукции, но как-то не прошло.

(25 Июл '15 19:04) sapere aude
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×264
×13

задан
24 Июл '15 20:41

показан
475 раз

обновлен
25 Июл '15 19:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru