1) Пусть $%A⊂U,B⊂U.$% Найти множество $%X⊂U,$% удовлетворяющее уравнению $$(\overline{X \cup A}) \cup (X \cup \overline{A}) =B.$$

2) Найти подмножества $%A$% и $%B$% множества $%U$%, если известно, что для любого множества $%X⊂U$% верно равенство $$X∩A=X∪B.$$


1) Выходит какая-то глупость. $$(\overline{X \cup A}) \cup (X \cup \overline{A}) = B$$ $$\overline{X} \cap \overline{A} \cup (X \cup \overline{A})$$ $$\overline{A} \cap (\overline{X} \cup X) \cup \overline{A}$$ $$\overline{A} \cap U \cup \overline{A}$$ $$\overline{A} = B.$$

2) Здесь могу сообразить только интуитивно. Уравнение верно, например, при $% A= U $% и $%B= \varnothing$%. Еще при $% A=B=X$%, но это допущение запрещает условие. Есть ли здесь более формальный способ доказательства?

Заодно. При доказательстве того, что множество действительных чисел несчетно, ведь достаточно доказать лишь несчетность интервала $%(a,b)$%. Почему тогда почти все учебники прежде всего доказывают несчетность интервала $%[0,1]$%, а только после этого делают заключение о несчетности множества действительных чисел? Мне кажется это нелогичная последовательность, ведь доказательство несчетности интервала $%(a,b)$% гораздо сильнее.

задан 29 Июл '15 13:21

@bonaqua, Если вам дан исчерпывающий ответ, отметьте его как верный (нажмите на галку рядом с выбранным ответом).

(29 Июл '15 19:53) Виталина
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) После применения закона де Моргана получается $%\bar{X}\cap\bar{A}\cup\bar{A}\cup X=B$%. Ясно, что $%\bar{X}\cap\bar{A}$% содержится в $%\bar{A}$%, поэтому второе из множеств "поглощает" первое при объединении, и получается $%\bar{A}\cup X=B$%. Это условие равносильно исходному. Из него, в частности, следует, что $%\bar{A}\subseteq B$%, и тогда $%A\cup B=U$%. В противном случае уравнение не имеет решений. Если же последнее условие выполнено, то в качестве $%X$% годится любое множество, заключённое между $%A\cap B$% и $%B$%, то есть $%A\cap B\subseteq X\subseteq B$%. Это необходимое и достаточное условие.

2) Условие $%X\cap A=X\cup B$% верно для любого $%X$%. В частности, оно верно для пустого $%X$%. Отсюда следует, что $%B=\emptyset$%. Тем самым, наше условие упрощается до $%X\cap A=X$%. Оно верно при $%X=U$% в качестве частного случая, откуда $%A=U$%. Никакие другие значения для $%A$% и $%B$% не подходят. В то же время, если положить $%A=U$% и $%B=\emptyset$%, то для всякого $%X\subseteq U$% получится $%X\cap A=X\cap U=X=X\cup\emptyset=X\cup B$%, то есть найденное решение существует и единственно.

3) Несчётность $%\mathbb R$% удобнее всего доказывать через несчётность полуинтервала $%[0;1)$%, рассматривая числа из этого интервала как бесконечные последовательности цифр. С произвольным интервалом $%(a,b)$% в этом смысле работать труднее, а выгоды нет никакой, так как все интервалы прямой равномощны между собой.

Вообще, при рассуждениях предпочтительно придерживаться "минималистского" принципа, то есть брать наиболее простое рассуждение, которое решает поставленную задачу. Принцип "максимализма" в виде "чем больше мыслей, тем лучше", на практике приводит только к одному: люди начинают путаться в собственных мыслях и выводах.

ссылка

отвечен 29 Июл '15 15:38

@falcao можете объяснить в 1-ом номере переход от выполнения условия $%A∪B=U,$% к тому, что в качестве $%X$% годится любое множество, заключённое между $%A∩B$% и $%B$%

(29 Июл '15 17:36) bonaqua

@bonaqua: то, что $%X$% содержится в $%B$%, следует из условия $%\bar{A}\cup X=B$%. Чтобы из $%\bar{A}$% после объединения получилось $%B$%, необходимо и достаточно добавить как минимум $%B\setminus\bar{A}=A\cap B$%.

(29 Июл '15 17:57) falcao

@falcao Так, с этим разобрался. Но опять ничего не понял :) . Решил убедиться в верности Вашего условия на каком-то конкретном примере. Пусть $%U=\left\{1,2,3,4,5 \right\},A=\left\{ 1,2 \right\},B=\left\{2,3,4 \right\}.$% Тогда $%A∩B={2},$% тогда, согласно условию $%A∩B⊆X⊆B$% возьмем $%X=\left\{2,4 \right\}.$% Но $% B \ne \overline{A}∪X=\left\{3,4,5 \right\}∪\left\{2,4 \right\}=\left\{2,3,4,5 \right\},$% так как $%5∉B.$%

(30 Июл '15 9:21) bonaqua

@bonaqua: обратите внимание, что для существования решения уравнения необходимо выполнение условия $%A\cup B=U$%. Об этом сказано в решении. Если это условие не выполнено, то не подойдёт никакое $%X$%. Если выполнено, то подойдёт любое $%X$% между $%A\cap B$% и $%B$%.

(1 Авг '15 10:53) falcao

Мне почему-то настойчиво твердят, что ответ $%X = \overline{B}$%. Мол, так у автора. Я же говорю, что это ошибка. Что Вы думаете по этому поводу?

Относительно примера, который я привел. Я наверное опять ошибаюсь, но разве запись $%\overline{A} \subset B$% не эквивалентна $%A \cup B =U$%? Я именно постольку и хотел показать.

(1 Авг '15 20:50) bonaqua

@bonaqua: ответ $%\bar{B}$% для этого условия задачи явно неверен. Полезно сверить ещё раз условие.

То, что $%\bar{A}\subseteq B$% -- это и есть $%A\cup B=U$%, это правильно, но в Вашем примере это не соблюдено: число 5 принадлежит дополнению $%A$%, но не $%B$%,

(1 Авг '15 21:54) falcao

@falcao спросил откуда задание. Сказали, Кудрявцев, самые первые страницы. Задание переписано верно, ответ в конце действительно $%\overline{B}$%.

Я вообще изначально хотел этим примером показать, что из$% A∩B⊆X⊆B$% не следует $%B = \overline{A} \cup X$%. Ибо эта импликация верна,если показано, что $%\overline{A} ⊆ B$%. Но скорее я сам себя запутал, чем Вам что-то объяснил :)

(1 Авг '15 22:53) bonaqua
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

Добавление к 3-ему вопросу. Коротенькое доказательство. Просьба та же: поверить на корректность.

Докажите, что множество R всех вещественных чисел несчетно.

Докажем сначала следующую лемму:

$%\qquad$%Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение.

Пусть задана система вложенных отрезков $$a_1 < a_2 < ... < a_n < b_n < ... < b_2 < b_1 $$

Из данного неравенства следует, что $$\forall m,n: a_n < b_n$$ Тогда, вследствие аксиомы непрерывности существует такая точка $%ξ$%, что $$a_m < ξ < b_n,$$ в частности, выполняется неравенство $%a_n < ξ < b_n.$% Следовательно, $$∀[a_n,b_n ] \; ∃ξ: ξ∈[a_n,b_n ].\blacksquare$$


Теперь для непосредственного доказательства достаточно показать, что любой отрезок $%[a,b]∈\mathbb{R}$% состоит из несчетного множества точек. Допустим противное: пусть точки некоторого отрезка $%[a,b]∈\mathbb{R},a < b$% можно занумеровать в упорядоченную последовательность $%[a,b] = \left\{x_1,x_2,… ,x_n,…\right\}.$% Выберем такой отрезок $%[a_1,b_1 ],$% что $$[a,b] ⊃ [a_1,b_1 ] ∉ x_1.$$ Продолжаем сужать отрезок $%[a,b]$% до системы вложенных отрезков так, что в каждый отрезок вида $%[a_n,b_n ]$% будет вложен отрезок $%[a_{n+1},b_{n+1} ],$% не содержащий точки $%x_{n+1}$% $$ \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}: \; n=1}^{\infty} [a_n, b_n] \qquad (1). $$ Следовательно, ни одна точка $%x_n$% не принадлежит пересечению $%(1)$%. Однако согласно доказанной выше лемме $$\exists ξ: ξ \in [a_n,b_n ] \Rightarrow ξ \in [a,b], \quad n \in \mathbb{N}.$$ Но так как все точки отрезка $%[a,b]$% по предположению пронумерованы, то точка $%ξ$% также должна иметь какой-то номер, то есть $%ξ=x_n.$% Следовательно, имеем противоречие с тем, что «ни одна точка $%x_n$% не принадлежит пересечению».

ссылка

отвечен 30 Июл '15 9:17

изменен 31 Июл '15 13:46

1

@bonaqua: доказательство несчётности с использованием принципа вложенных отрезков верное.

(1 Авг '15 10:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×486
×161

задан
29 Июл '15 13:21

показан
424 раза

обновлен
1 Авг '15 22:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru