алгебра - Положения стрелок часов

Рассмотрим 12-часовой промежуток. За него часовая стрелка делает 1 оборот, минутная делает 12 оборотов, секундная - 720 оборотов. Иначе говоря, отношения скоростей стрелок 1:12:720. В момент времени $%t$% (который можно рассматривать как число от 0 до $%2\pi$%) положение часовой стрелки будет соответствовать $%t$%, минутной - $%12t$%, а секундной - $%720t$% (все это по модулю $%2\pi$%).

Вначале рассмотрим случай (I), когда секундная делит пополам угол между часовой и минутной.

Если $%t \le 12t < t+\pi$%, то меньшим из углов будет "положительный", то есть секундная стрелка должна при этом занимать положение $%(t+12t)/2$%, откуда $%1440t=13t$% с точностью до $%4\pi$%. Если же $%t+\pi \le 12t < t+2\pi$%, то меньшим из углов будет "отрицательный", то есть секундная стрелка должна занимать положение $%(t+12t)/2 +\pi$%, то есть $%1440t=13t+2\pi$% с точностью до $%4\pi$%. Мы видим, что в обоих подслучаях $%1427t = 2k\pi$%, но случаи отличаются чётностью значения $%k$%, то есть каждой чётности соответствует свой подслучай. Так как $%0 \le t < 2\pi$%, то $%0 \le k < 1427$%, и каждому целому числу $%k$% из этого промежутка соответствует своё время $%t$%. Итак, для этого случая имеется 1427 моментов времени в полусутках.

Теперь случай (II), когда минутная делит пополам угол между секундной и часовой. Это означает, что угол между часовой и минутной стрелками должен быть нетупым. То есть $%t-\pi/2 \le 12t \le t+\pi/2$%, $%(4m-1)\pi \le 22t \le (4m+1)\pi$%. Положение секундной стрелки при этом будет соответствовать $%2*(12t)-t$%, т.е. $%23t$%, с точностью до $%2\pi$%. Здесь мы получаем уравнение $%23t=720t$%, $%697t=2k\pi$%, имеющее 697 решений в нужном промежутке. Однако нас удовлетворяют не все эти решения, а лишь такие, для которых выполнено приведенное выше двойное неравенство на $%22t$%. Не очень сложный, но требующий аккуратности, подсчёт показывает, что их будет $%349$%.

Аналогичные выкладки для случая (III), в котором часовая делит пополам угол между секундной и минутной, дают то же условие $%t-\pi/2 \le 12t \le t+\pi/2$%, $%(4m-1)\pi \le 22t \le (4m+1)\pi$%, но другое положение секундной стрелки: $%2*t-12t$%, т.е. $%-10t$%, с точностью до $%2\pi$%. Здесь мы получаем уравнение $%-10t=720t$%, $%730t=2k\pi$%, имеющее 730 решений в нужном промежутке. Среди них нас устраивают $%365$%.

Итого $%1427+349+365=2141$% момент времени за полсуток, или 4282 момента в сутки, если я нигде не обсчитался