геометрия - Два вписанных треугольника

Ответ: да.
Решение:
Пусть точки $%H$%, $%I$%, $%O$% - ортоцентр и центры вписанной и описанной окружностей, соответственно, $%R$% - радиус описанной окружности, $%D=|IO|$% - расстояние от ортоцентра до инцентра, $%r=\frac{R^2-D^2}{2R}$% (по формуле Эйлера) - радиус вписанной окружности.
Зафиксируем $%R$% и $%D$% (а, следовательно, и $%r$%). Этим окружностям соответствует множество треугольников $%ABC$%, однозначно задаваемых вершиной $%A$%, или, что удобнее, ориентированным углом $%\alpha=\angle IOA$%. Двигая точку $%A$% по описанной окружности, мы получим множество точек $%H$%. Изучив движение точки $%H$%, как функции от $%\alpha$%, мы сможем узнать решение нашей задачи.
Для начала, некоторое вспомогательное построение: отложим от точки $%O$% вектор $%\overline{OC}=2\overline{OI}$%. Кого не интересует вывод формул - смело переходите к следующему абзацу. Обозначим: $%I_C$% - точка касания вписанной окружности со стороной $%AB$%; $%I_B$% - точка касания вписанной окружности со стороной $%AC$%; $%a=|IA|=\sqrt{(R\sin\alpha)^2+(R\cos\alpha-D)^2}$%; $%\beta=\angle CIA$%; $%\gamma=\angle AII_C=\angle I_B IA$%. Найдем величины углов $%\beta$% и $%\gamma$%, зная их синусы: $%\sin\beta=\frac{R\sin\alpha}a$%; $%\sin\gamma=\frac r a$%. Далее, найдём положение точек $%B$% и $%C$%, зная углы $%\angle IOB=2(\beta+\gamma)-\alpha$% и $%\angle IOC=2(\beta-\gamma)-\alpha$%. В итоге, найдем положение точки $%H$%, пользуясь формулой $%\overline{OH}=\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}$%. Все вышеперечисленные формулы легко вывести, работая в прямоугольной системе координат $%XOI$%. Осталось только скомпоновать все эти формулы в одну, чтоб получить зависимость положения ортоцентра от $%\alpha$%.
Итоговая формула слишком велика и ужасна, так что без нее опишу поведение ортоцентра. Для всех положительных $%D$%, при движении точки $%A$%, ортоцентр движется по окружности с центром в точке $%C$% и радиусом $%\frac{D^2}R$% в том же направлении, что и точка $%A$%, при чем при прохождении точкой $%A$% полного круга ортоцентр проходит три полных круга. Это означает, что каждой точке $%H$% соответствует по три точки $%A$%, которые, очевидно, являются тремя вершинами одного и того же треугольника. Таким образом, мы доказали, что для любых точек $%H$%, $%I$%, $%O$% ($%H\neq I$%) существует только один соответствующий треугольник.
Если же центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то мы имеем дело с равносторонними треугольниками.