Два треугольника с попарно разными вершинами вписаны в одну окружность. Эти треугольники имеют также общие центры вписанных окружностей и ортоцентры ( точки пересечения высот). Обязательно ли эти треугольники равносторонние?

задан 25 Июл '12 22:26

10|600 символов нужно символов осталось
0

Ответ: да.
Решение:
Пусть точки $%H$%, $%I$%, $%O$% - ортоцентр и центры вписанной и описанной окружностей, соответственно, $%R$% - радиус описанной окружности, $%D=|IO|$% - расстояние от ортоцентра до инцентра, $%r=\frac{R^2-D^2}{2R}$% (по формуле Эйлера) - радиус вписанной окружности.
Зафиксируем $%R$% и $%D$% (а, следовательно, и $%r$%). Этим окружностям соответствует множество треугольников $%ABC$%, однозначно задаваемых вершиной $%A$%, или, что удобнее, ориентированным углом $%\alpha=\angle IOA$%. Двигая точку $%A$% по описанной окружности, мы получим множество точек $%H$%. Изучив движение точки $%H$%, как функции от $%\alpha$%, мы сможем узнать решение нашей задачи.
Для начала, некоторое вспомогательное построение: отложим от точки $%O$% вектор $%\overline{OC}=2\overline{OI}$%. Кого не интересует вывод формул - смело переходите к следующему абзацу. Обозначим: $%I_C$% - точка касания вписанной окружности со стороной $%AB$%; $%I_B$% - точка касания вписанной окружности со стороной $%AC$%; $%a=|IA|=\sqrt{(R\sin\alpha)^2+(R\cos\alpha-D)^2}$%; $%\beta=\angle CIA$%; $%\gamma=\angle AII_C=\angle I_B IA$%. Найдем величины углов $%\beta$% и $%\gamma$%, зная их синусы: $%\sin\beta=\frac{R\sin\alpha}a$%; $%\sin\gamma=\frac r a$%. Далее, найдём положение точек $%B$% и $%C$%, зная углы $%\angle IOB=2(\beta+\gamma)-\alpha$% и $%\angle IOC=2(\beta-\gamma)-\alpha$%. В итоге, найдем положение точки $%H$%, пользуясь формулой $%\overline{OH}=\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}$%. Все вышеперечисленные формулы легко вывести, работая в прямоугольной системе координат $%XOI$%. Осталось только скомпоновать все эти формулы в одну, чтоб получить зависимость положения ортоцентра от $%\alpha$%.
Итоговая формула слишком велика и ужасна, так что без нее опишу поведение ортоцентра. Для всех положительных $%D$%, при движении точки $%A$%, ортоцентр движется по окружности с центром в точке $%C$% и радиусом $%\frac{D^2}R$% в том же направлении, что и точка $%A$%, при чем при прохождении точкой $%A$% полного круга ортоцентр проходит три полных круга. Это означает, что каждой точке $%H$% соответствует по три точки $%A$%, которые, очевидно, являются тремя вершинами одного и того же треугольника. Таким образом, мы доказали, что для любых точек $%H$%, $%I$%, $%O$% ($%H\neq I$%) существует только один соответствующий треугольник.
Если же центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то мы имеем дело с равносторонними треугольниками.

ссылка

отвечен 1 Окт '12 4:18

Ваше решение оригинально. Я думаю, что оно верно, но хотелось бы большей четкости и ясности. Возможно некоторые "сложности" могут быть реализованы попроще. Успехов Вам.

(1 Окт '12 17:10) Anatoliy

А куда еще четче и яснее? Доказано, что для трех точек H, I, O существует только один соответствующий треугольник.
Или не понятно, откуда взялись некоторые формулы? Если я буду каждую из них расписывать, то текст доказательства будет длиннее Войны и Мира. Да что там - даже длиннее решений нашего уважаемого теолога!

(1 Окт '12 17:30) chameleon

Ну, ладно. Будем считать ,что "Итоговая формула слишком велика и ужасна..." - правильна. Мне думается, что Вам можно верить.

(1 Окт '12 17:52) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Нет, не обязательно. По заданной окружности (центр и радиус) и положению ортоцентра можно построить много трегольников, удовлетворяющих сформулированному условию. (Если ортоцентр не совпадает с центром окружности. В противном случае только равносторонний.)

Дополнение по просьбе автора задачи (К сожалению, картинку вставить не могу.) Строится так, Пусть точка H (ортоцентр) отлична от точки O (центр окружности) и лежит внутри заданной окружности. Возьмем некоторую (почти произвольную)точку A на окружности таким образом, чтобы прямая (AH) не проходила через точку O. проведем прямую (AH). Через точку O проводим прямую t, параллельную (AH).
Найдем точку M на отрезке OH такую, что HM:MO=2:1 - это точка пересечения медиан искомого треугольника. Проводим прямую (AM) до пересечения с прямой t в точке K (очевидно, что указанная точка существует).
Остается провести через K прямую, перпендикулярную (AH) и точки ее пересечения с окружностью обозначить B и C - это и будут еще две вершины искомого треугольника.
В силу произвольности выбора точки A таких треугольников бесконечно много.

Upd2. Рисунок не могу вставить, так как загрузка изображения разрешена только пользователям, имеющим рейтинг от 60.

А вот условие прочитал неправильно. Решал задачу с центром описанной окружности. Извините.

ссылка

отвечен 27 Июл '12 6:58

изменен 27 Июл '12 16:29

Приведите пример.

(27 Июл '12 11:39) Anatoliy

Все-таки выполните рисунок. Проанализируйте ход решения. Кроме того, прочитайте внимательно условие.

(27 Июл '12 15:53) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Опять зубодробительная задача...
Только некоторые начальные соображения. Пусть точки H, I, O - ортоцентр и центры вписанной и описанной окружностей. Рассмотрим точку A описанной окружности. Если эта точка - вершина треугольника, то прямая AI есть биссектриса угла HAO, т.е. разность углов HAI и IAO равна 0. Углы при этом можно считать ориентированными (со знаком). Рассмотрим разность углов HAI и IAO как функцию точки A. Она равна 0 для трех точек - вершин одного треугольника. Может ли эта разность сохранять знак на каждом промежутке между вершинами? Если так, то хотя бы в одной вершине этот знак не меняется. Такая выделенность весьма странна для общего случая. Можно предполагать, что внутри каждого промежутка знак меняется. Но тогда в каждом таком промежутке существуют точки, которые также "претендуют на звание" вершины треугольника. Возможно, они и образуют новый треугольник с теми же H, I, O.
Впрочем, возможен и другой случай, когда эта разность сохраняет постоянный знак.

ссылка

отвечен 3 Авг '12 0:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,283

задан
25 Июл '12 22:26

показан
1005 раз

обновлен
1 Окт '12 17:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru