N-значное число равно сумме своих цифр, плюс сумма попарных произведений своих цифр, плюс сумма произведений по три цифры, плюс…. плюс произведение всех N цифр. Найти все такие N-значные числа

задан 7 Авг '15 8:49

изменен 7 Авг '15 9:13

10|600 символов нужно символов осталось
2

1 часть доказательства. пусть $%a(n)...a(0)$% - десятичная запись такого числа, тогда $%a(n)\ast10^n+...a(0)=(1+a(0))...(1+a(n))-1$% перенося $%a(0)$% влево, получаем $%10( a(n)\ast10^n-1+...a(1) )=(1+a(0))( (1+a(1))...(1+a(n))-1)$% заметим, что, если $%a(0)=9$%, то получаем ту же проверку, что и для числа $%a(n)...a(1)$%, то есть из этого следует, что условию удовлетворяет любое число вида $%x9...9$% - где $%0 < x < 10$%, ко-во девяток неограниченно. 2 часть доказательства. берем снова тождество $%a(n)\ast10^n+...a(0)=(1+a(0))...(1+a(n))-1$%, и замечаем, что если в числе есть цифра 9, то $%(1+a(0))...(1+a(n))$% делится на 10, $%a(n)\ast10^n+...a(1)\ast10$% делится на 10, а значит 1+a(0) делится на 10, то есть a(0)=9, и далее аналогично рассуждаем с $%a(n)\ast10^n-1+...a(1)=(1+a(1))...(1+a(n))-1$% теперь если в числе нет цифры 9, то правая часть $%\ge10^n$%, а левая $%\le9^{n+1}$%, то есть это возможно, когда $%n\le\lg(9)/(1-\lg(9))$%, то есть с помощью небольшое проверки получаем, что все такие числа имеют вид, как в доказательстве 1 - то есть вторая часть доказательства завершает доказательство.

ссылка

отвечен 7 Авг '15 10:24

изменен 7 Авг '15 11:55

falcao's gravatar image


269k63751

будьте добры опять latex подкорректировать, мне аж неудобно, постоянно прошу.

(7 Авг '15 10:32) delta37
1

@delta37: из-за особенностей местного редактора вместо символа "звёздочка" лучше использовать команду \ast

(7 Авг '15 11:53) falcao

ааа, вот в чем дело, понятно, спасибо

(7 Авг '15 12:53) delta37
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,482
×970

задан
7 Авг '15 8:49

показан
994 раза

обновлен
7 Авг '15 12:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru