|
Здравствуйте! Нужно доказать, что ряд $%\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$% с положительными монотонно убывающими членами сходится или расходится одновременно с рядом $%\sum\limits_{n=0}^\infty 2^na_{2^n}$%. задан 7 Авг '15 20:18 
Math_2012 |
|
Если сходится первый ряд, то сходится и второй ряд, поскольку$$\sum_{n=0}^{\infty}2^na_{2^n}=a_1+2a_2+4a_4+8a_8+...\le a_1+(a_1+a_2)+2(a_3+a_4)+2(a_5+a_6+a_7+a_8)+...=\\<2(a_1+a_2+a_3+a_4...+)=2\sum_{n=1}^{\infty}a_n.$$ Если сходится второй ряд, то сходится и первый ряд, поскольку $$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=(a_1)+(a_2+a_3)+(a_4+a_5+a_6+a_7)+...\le a_1+2a_2+4a_4+...=\sum_{n=0}^{\infty}2^na_{2^n}.$$ отвечен 7 Авг '15 20:57 
EdwardTurJ |
К слову сказать — это формулировка телескопического признака Коши.