В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD:CD = 2:1. В каком отношении медиана СМ делит эту биссектрису?

задан 15 Авг '15 16:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пускай $%P$% - точка пересечения $%AD$% и $%CM$%, а прямая $%BP$% пересекает $%AC$% в точке $%K$%. По теореме Чевы $$\frac{AK}{KC}\cdot\frac{CD}{DB}\cdot\frac{BM}{MA}=1,$$ отсюда $$\frac{AK}{KC}=2.$$ По теореме Ван-Обеля $$\frac{AP}{PD}=\frac{AK}{KC}+\frac{AM}{MB}=2+1=3.$$

В решении не использовали условие, что $%AD$% - биссектриса.

ссылка

отвечен 15 Авг '15 17:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Школьное решение, использующее то, что $%AD$% - биссектриса... )))

Пусть $%F=AD\cap CM$%.
Так как $%BD:CD=1:2$%, то по свойству биссектрисы $%AB:AC=1:2$% ... для простоты положим, что $%AB=1$%, а $%AC=2$%.
Тогда очевидно, что $%\Delta ACM$% - равнобедренный, а $%AF$% - высота.
Обозначим через $%\alpha=\angle CAD=\angle BAD$%. Тогда $%AF=\cos\alpha$%, $%CF=\sin\alpha$%, а $%FD=\sqrt{x^2-\sin^2\alpha}$%.

alt text

Применяя к $%\Delta ABC$% теорему косинусов, получаем, что $$ (3x)^2=1^2+2^2-2\cdot 1\cdot 2\cdot \cos(2\alpha), $$ $$ 9x^2=1^2+4\cdot\bigl(1-\cos(2\alpha)\bigr)=1^2+4\cdot 2\cdot\sin^2\alpha, $$ откуда $$ x^2=\frac{1+8\cdot\sin^2\alpha}{9}\quad\Rightarrow\quad FD=\sqrt{\frac{1+8\cdot\sin^2\alpha}{9}-\sin^2\alpha}=\frac{\cos\alpha}{3}. $$ Следовательно, $%AF:FD=3:1$%.

ссылка

отвечен 15 Авг '15 22:15

2

Школьное решение, не использующее то, что $%AD$% - биссектриса.

Пускай $%R$% - середина $%AC$%, $%S$% - середина $%BD$%, а $%T$% - точка пересечения $%RM$% и $%AD$%. Тогда $$MS||AD,CF=FM,RM||BC,DF=FT=TA/2\Rightarrow\frac{AF}{FD}=3.$$

(15 Авг '15 22:35) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ, красиво... но не понятно, откуда в этом решении следует, что $%DF=FT$%...

(15 Авг '15 22:51) all_exist
1

@all_exist: $%DSMT$% - параллелограмм, $%CD=DS=TM,\triangle DCF=\triangle TMF,DF=FT.$%

(15 Авг '15 22:58) EdwardTurJ

@EdwardTurJ, да... то, что $%CTMD$% получается параллелограммом, я не додумал до конца... (((

(15 Авг '15 23:19) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×443
×83
×27

задан
15 Авг '15 16:45

показан
1586 раз

обновлен
15 Авг '15 23:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru