$$sin^{10} x + cos^{10} x = \frac{61}{256}$$

задан 7 Янв '12 19:44

изменен 7 Янв '12 19:51

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нестандартный подход. Обозначим $$a=cos^{2}x;b=sin^{2}x; $$ Система уравнений $$\begin{cases} a^{5}+b^{5}=1\\a+b=1\\a>0,b>0\end{cases} $$ С геометрической точки зрения решения системы состоят из точек пересечения прямой и выпуклого овала ( наподобие эллипса). Таких точек будет две. Подбором находим $$a= \frac{1}{4} , b= \frac{3}{4}$$ . Симметрично , $$a= \frac{3}{4} , b= \frac{1}{4} $$. Ответ далее, прямо навиду. Ваше право выбора решения. У каждого метода свои достоинства и недостатки. Но этот подход весьма полезен, так как учит красоте в математике и в законах мира. Если решение понравилось, прошу ответить на мой вопрос в Хэшкоде "Зачем Вам (лично) нужна математика"

ссылка

отвечен 7 Янв '12 21:35

изменен 7 Янв '12 21:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Используя тождество $%sin^2x=1-cos^2x$%. Пусть $%sin^2x=t$%, тогда

$$t^5 + (1-t)^5 = t^5 + 1 - 5t + 10t^2 - 10t^3 + 5t^4 - t^5=5t^4 - 10t^3 + 10t^2 - 5t + 1 = \frac{61}{256}$$

Решая это уравнение относительно t, получаем совокупность уравнения $%sin^2x=t_{1,2,3,4}$%. Откуда уже находим искомые x.

ссылка

отвечен 7 Янв '12 20:22

большое спасибо

(7 Янв '12 20:31) кто
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,621
×766

задан
7 Янв '12 19:44

показан
1672 раза

обновлен
7 Янв '12 21:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru