Здравствуйте! Нужно исследовать сходимость ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty (n^{\frac 1 {n^2 + 1}} - 1)$$

задан 21 Авг '15 12:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

Запишем общий член ряда в виде $$n^{\tfrac 1 {n^2 + 1}} - 1=e^{\tfrac{\ln{n}}{n^2+1}}-1.$$ Поскольку $$ \frac{\ln{x}}{\sqrt{x}} \underset{x\to+\infty}{\to}{0},$$ и, тем более, $$ \frac{\ln{x}}{x^2+1} \underset{x\to+\infty}{\to}{0},$$ (что легко проверяется с помощью правила Лопиталя), то, во-первых, $$e^{\tfrac{\ln{n}}{n^2+1}}-1\underset{n\to\infty}{\sim }{\frac{\ln{n}}{n^2+1}},$$ во-вторых, начиная с некоторого $%n_0,$% имеет место оценка $$\frac{\ln{n}}{\sqrt{n}}<1 \Rightarrow \ln{n}<\sqrt{n}, \;\;(\forall n\geqslant n_0).$$ Поэтому при $%n\geqslant n_0$% $$\frac{\ln{n}}{n^2+1}<\frac{\sqrt{n}}{n^2+1}<\frac{\sqrt{n}}{n^2}=\frac{1}{n^{\tfrac{3}{2}}}.$$ Тогда ряд $%\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \left(n^{\tfrac 1 {n^2 + 1}} - 1\right)$% сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом $%\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {\dfrac{1}{n^{\tfrac{3}{2}}}}.$%

ссылка

отвечен 21 Авг '15 23:24

изменен 22 Авг '15 12:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×884
×455
×303
×86

задан
21 Авг '15 12:41

показан
602 раза

обновлен
22 Авг '15 12:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru