ряды - Исследовать сходимость ряда

Запишем общий член ряда в виде $$n^{\tfrac 1 {n^2 + 1}} - 1=e^{\tfrac{\ln{n}}{n^2+1}}-1.$$ Поскольку $$ \frac{\ln{x}}{\sqrt{x}} \underset{x\to+\infty}{\to}{0},$$ и, тем более, $$ \frac{\ln{x}}{x^2+1} \underset{x\to+\infty}{\to}{0},$$ (что легко проверяется с помощью правила Лопиталя), то, во-первых, $$e^{\tfrac{\ln{n}}{n^2+1}}-1\underset{n\to\infty}{\sim }{\frac{\ln{n}}{n^2+1}},$$ во-вторых, начиная с некоторого $%n_0,$% имеет место оценка $$\frac{\ln{n}}{\sqrt{n}}<1 \Rightarrow \ln{n}<\sqrt{n}, \;\;(\forall n\geqslant n_0).$$ Поэтому при $%n\geqslant n_0$% $$\frac{\ln{n}}{n^2+1}<\frac{\sqrt{n}}{n^2+1}<\frac{\sqrt{n}}{n^2}=\frac{1}{n^{\tfrac{3}{2}}}.$$ Тогда ряд $%\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty \left(n^{\tfrac 1 {n^2 + 1}} - 1\right)$% сходится по признаку сравнения со сходящимся рядом $%\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty {\dfrac{1}{n^{\tfrac{3}{2}}}}.$%