Здравствуйте! Нужно исследовать сходимость ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty e^{\frac {a\ln n + b}{c \ln n + d}}$$

Даже не знаю, мелковато получилось, надеюсь, видно. А тут чем надо пользоваться? Тоже тем, как функции растут? :((

задан 21 Авг '15 14:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Предположим сначала, что $%c\ne{0}.$% Преобразуем показатель экспоненты: $$\frac {a\ln n + b}{c \ln n + d}=\frac{a\ln n + b}{c \ln n + d}-\frac{a}{c}+\frac{a}{c}= \\ =\frac{bc-ad}{c\ln{n}+d}+\frac{a}{c}.$$ Отсюда видно, что исходный ряд расходится, если $%a \ne{0},$% поскольку общий член его не стремится к нулю. Если же $%a = {0},$% ряд будет иметь вид $$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} {e^{\tfrac{b}{c\ln{n}+d}}},$$ и его расходимость следует из логарифмического признака.

Пусть теперь $%c=0.$% Тогда члены ряда имеют вид $$e^{ {\tfrac{a}{d}\ln n + \tfrac{b}{d}}}=e^{\tfrac{b}{d}} \cdot e^{\tfrac{a}{d}\ln n}=e^{\tfrac{b}{d}} \cdot n^{\tfrac{a}{d}},$$ откуда следует, что исходный ряд сходится при $%\dfrac{a}{d}<-1.$%
Так что ответ, предложенный Fizik1995, правилен, несмотря на предельную лаконичность :)
P.S. Размер символов дроби в индексах будет чуть больше, если использовать команду \tfrac вместо \frac.

ссылка

отвечен 22 Авг '15 0:36

изменен 22 Авг '15 21:04

@Mather: Спасибо за подсказку насчет дробей, учту на будущее.

(22 Авг '15 22:45) Math_2012
10|600 символов нужно символов осталось
0

c=0 , (alnn+b)/d=(a/d)lnn+(b/d) a/d <-1

ссылка

отвечен 21 Авг '15 17:06

@Fizik1995: А нельзя ли логику решения как-то развернуто изложить?

(21 Авг '15 20:48) Math_2012
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×849
×450
×298
×86

задан
21 Авг '15 14:38

показан
720 раз

обновлен
22 Авг '15 22:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru