ряды - Исследовать сходимость ряда

Предположим сначала, что $%c\ne{0}.$% Преобразуем показатель экспоненты: $$\frac {a\ln n + b}{c \ln n + d}=\frac{a\ln n + b}{c \ln n + d}-\frac{a}{c}+\frac{a}{c}= \\ =\frac{bc-ad}{c\ln{n}+d}+\frac{a}{c}.$$ Отсюда видно, что исходный ряд расходится, если $%a \ne{0},$% поскольку общий член его не стремится к нулю. Если же $%a = {0},$% ряд будет иметь вид $$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{\infty} {e^{\tfrac{b}{c\ln{n}+d}}},$$ и его расходимость следует из логарифмического признака.

Пусть теперь $%c=0.$% Тогда члены ряда имеют вид $$e^{ {\tfrac{a}{d}\ln n + \tfrac{b}{d}}}=e^{\tfrac{b}{d}} \cdot e^{\tfrac{a}{d}\ln n}=e^{\tfrac{b}{d}} \cdot n^{\tfrac{a}{d}},$$ откуда следует, что исходный ряд сходится при $%\dfrac{a}{d}<-1.$%
Так что ответ, предложенный Fizik1995, правилен, несмотря на предельную лаконичность :)
P.S. Размер символов дроби в индексах будет чуть больше, если использовать команду \tfrac вместо \frac.