Здравствуйте! Нужно исследовать сходимость ряда:

$$\sum\limits_{n=2}^\infty \frac {n^{\ln n}} {(\ln n)^n}$$

Подозреваю, что тут надо радикальный признак Коши использовать. Правильно?

задан 25 Авг '15 18:57

2

Я бы признак Коши применил -- с ним всё просто получается. Извлекаем корень n-й степени, получаем $%n^{\ln n/n}$% в числителе и $%\ln n$% в знаменателе. Числитель равен $%e^{\ln^2n/n}\to e^0=1$%, а знаменатель стремится к бесконечности. Значит, предел корня n-й степени равен нулю, он меньше 1, и ряд сходится.

(25 Авг '15 22:40) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Преобразуем общий член ряда $$\dfrac {n^{\ln n}} {(\ln n)^n}= \dfrac{e^{\ln^2{n}}}{e^{n\ln{\ln{n}}}}, \tag{1}$$ который после замены $%t=\ln{n}$% примет вид $$\dfrac{e^{t^2}}{e^{e^t \ln{t}}}.$$ Далее (возможно, Вы уже догадались, о чем дальше пойдет речь) остается сравнить скорость роста показателей экспонент, т.е. функций $%\varphi_1(t)=t^2$% и $%\varphi_2(t)=e^t \ln{t}.$% Нетрудно убедиться, что $%\varphi_2$% растет намного быстрее, чем $%\varphi_1.$%
Радикальный признак (если его использовать), опять-же, имеет смысл применять к правой части $%(1),$% после чего проблема снова сведется к сравнению скорости роста функций.

ссылка

отвечен 25 Авг '15 19:49

изменен 25 Авг '15 19:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Подозреваю, что тут надо радикальный признак Коши использовать. Правильно?
Возможно это тоже подойдёт... только я сразу не вижу как..

При использовании признака Даламбера и группировке соответствующих множителей всё сведётся к выделению в каждой группе второго замечательного предела... останется только множитель $%\frac{1}{\ln(n+1)}$%, предел которого очевиден ...

ссылка

отвечен 25 Авг '15 19:46

изменен 25 Авг '15 19:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×884
×455
×303
×86

задан
25 Авг '15 18:57

показан
1006 раз

обновлен
25 Авг '15 22:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru