Здравствуйте! Нужно исследовать сходимость ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty [\ln \frac 1 {n^a} - \ln (\sin \frac 1 {n^a})]$$

Ой, что-то я опять запуталась, что тут нужно применять. То, что $%\sin x$% эквивалентно $%x$% при $%x$%, стремящемся к $%0$%, тут нужно использовать?

задан 26 Авг '15 19:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если $%a>0$%, то $$\ln\frac1{n^a}-\ln\left(\sin\frac1{n^a}\right)\sim\ln\frac1{n^a}-\ln\left(\frac1{n^a}-\frac1{6n^{3a}}\right)=-\ln\left(1-\frac1{6n^{2a}}\right)\sim\frac1{6n^{2a}}.$$ Случай $%a\le0$% совсем простой.

ссылка

отвечен 26 Авг '15 20:19

изменен 26 Авг '15 21:10

@Anna_2012: Этот пример — хорошая иллюстрация к Вашему вопросу о количестве членов разложения.

(26 Авг '15 21:03) Mather
2

@EdwardTurJ, насколько я помню, в разности эквивалентных функций заменять одну из них на третью надо весьма осторожно... Чтобы избежать просьбы преподавателя о доказательстве Вашего первого перехода (он, конечно, доказуем, но это лишняя работа), можно было поступить так: 1) Разность логарифмов... 2) При $%x\to 0$% делаем эквивалентную замену $%\ln\frac{\sin x}{x} \sim \frac{\sin x}{x}-1$% ... 3) Приводим к общему знаменателю и заменяем $%\sin x-x$%, используя два слагаемых разложения синуса... (тут уже и количество слагаемых разложения легко объясняется) ...

По-моему так более корректно...

(26 Авг '15 23:38) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×838
×446
×295
×86

задан
26 Авг '15 19:45

показан
601 раз

обновлен
26 Авг '15 23:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru