|
$$\sqrt{5\tan(x)+10}=\frac 5 2 \sin(x)+\frac 1 {\cos(x)}$$ Чтобы решить это уравнение, нужно задать сначала систему: $$ \begin{cases} 5\tan(x)+10=\frac{25}{4}sin^2(x)+\frac{10\sin(x)}{2\cos(x)}+\frac{1}{cos^2(x)} \\ \frac 5 2 \sin(x)+\frac 1 {\cos(x)} \ge 0 \end{cases} $$ Уравнение я решил, выходит $$\cos^2(x)=\frac15 \iff \cos(x)=\pm\frac 1 {\sqrt5}$$ Но как определить, какие результаты (из четырех, т.к. арккосинус с плюс-минусом) выбрать? Решаю неравенство, получаю (при косинусе Х, отличном от нуля) $$2x\ge \arcsin(\frac45) \iff x \ge \frac 12 \arcsin(\frac45)$$ Выходит, угол X должен лежать внутри дуги, расположенной в 1 и 2 четвертях. Но в ответах одно из значений для х вот такое: $$x=-\arccos(\frac{1}{\sqrt5})+\pi n$$ При n, равном нулю, угол будет расположен в 4 четверти. Что-то не сходится. задан 28 Авг '15 19:36 
CopperKettle |
|
Здесь проще всего было бы рассмотреть на единичной окружности 4 точки, для которых значение синуса равно $%\pm\frac2{\sqrt5}$%, а значение косинуса равно $%\pm\frac1{\sqrt5}$%. После этого надо посмотреть на то, выполняется ли неравенство для каждой из точек. Тогда окажется, что точка первой четверти походит (значение выражения положительно), точка третьей четверти не подходит, а для точек второй и четвёртой четверти значение выражения равно нулю, то есть они тоже подходят. Их и объединяем в серию, указанную выше. А для точки первой четверти будет $%\arccos\frac1{\sqrt5}+2\pi n$%. Решать тригонометрические неравенства нужно с большой осторожностью, и проще всего делать это с помощью рассмотрения точек единичной окружности. отвечен 29 Авг '15 1:24 
falcao Спасибо! Попробую теперь это понять. (0: Интересно, почему значение синуса для неравенства нужно задать именно как $$\sin(x)=\pm \frac{2}{\sqrt{5}}$$
(29 Авг '15 11:06)
CopperKettle
Мы знаем косинус, поэтому значение синуса находится с точностью до знака из основного тригонометрического тождества.
(29 Авг '15 12:02)
falcao
Дошло, спасибо! Поскольку $$\cos(x)=\frac{1}{\sqrt5}$$, то $$\sin(x)=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt5}\right)^2}=\frac{2}{\sqrt5}$$
(29 Авг '15 18:46)
CopperKettle
@CopperKettle: здесь в обоих случаях надо добавить $%\pm$%, потому что мы не знаем знака ни у одной из этих функций.
(30 Авг '15 1:45)
falcao
|
Неравенство решено неверно. Проверьте
@epimkin - спасибо, сейчас еще раз пройдусь по неравенству, прежде чем заглядывать в ответ.