алгебра - Объясните приемы решения целых уравнений(с 1-ой переменной).

А что написано у Макарычева? Не имею доступа к школьным учебникам.

Ваше уравнение имеет корень p = 0. Сокраящая его на p, получим уравнение $%11p^4+12p^3-1=0.$% Далее возможны два пути.

1. Использовать методы решения диофантовых уравнений, опираясь на вид конкретного многочлена. Например, имеем, $%11(p^4 + p^3)+p^3 - 1=0$%, так что $%p^3 - 1$% делится на 11. Можно найти, при каких остатках от деления p на 11 это возможно. Если еще найти границы, в корорых находятся корни, то можно действовать просто перебором. Например, ясно, что $%p \le 0$% (иначе левая часть будет положительной). Можно придумать для p также оценку снизу. Впрочем, так можно найти только целые решения.
   
2. Второй способ - перебор делителей свободного члена, с использованием теоремы Безу. Чтобы его можно было применить, надо сделать первый коэффициент равным 1. Для этого умножим уравнение на $%11^3$%, получим $%11^4p^4+12\cdot 11^3\cdot p^3-11^3=0.$% Введем обозначение 11p = t, тогда $%t^4+12t^3-11^3=0.$% Известно, что все рациональные решения такого уравнения являются целыми.
   

По теореме Безу t будет делителем свободного члена, т.е. 11^3. В данном случае делителей не так уж много (всего 8), так что их все можно просто перебрать. Есть, правда, способы сокращения перебора. Если Вам нужно - расскажу.

Можно сделать еще так. Введем обозначение p = 1/q, тогда $%11 + 12q-q^4=0$% или $%q^4 - 12 q - 11 = 0$%. В данном случае свободный член 11, q является его делителем, т.е. одним из чисел 1; -1; 11; -11.

Вообще, если корень целочисленного многочлена является рациональным числом p/q, то p есть делитель свободного члена $%a_n$%, а q - делитель старшего коэффициента $%a_0$%.