Здравствуйте!

Никак не могу разобраться с тем, как решать целые уравнения с одной переменной. Объясните пожалуйста, только не как в учебнике за 9 класс (углубленка Макарычева).

Пример уравнения, если можно на нём объясните: $$ p=11p^5 + 12p^4$$

Спасибо.

задан 2 Авг '12 15:14

Поставьте точнее задачу. Что нужно найти? Все корни уравнения? Целые корни? Рациональные корни? Какие сможем корни? Приведенное уравнение не имеет рациональных корней, кроме 0.

(3 Авг '12 0:40) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

А что написано у Макарычева? Не имею доступа к школьным учебникам.

Ваше уравнение имеет корень p = 0. Сокраящая его на p, получим уравнение $%11p^4+12p^3-1=0.$% Далее возможны два пути.

  1. Использовать методы решения диофантовых уравнений, опираясь на вид конкретного многочлена. Например, имеем, $%11(p^4 + p^3)+p^3 - 1=0$%, так что $%p^3 - 1$% делится на 11. Можно найти, при каких остатках от деления p на 11 это возможно. Если еще найти границы, в корорых находятся корни, то можно действовать просто перебором. Например, ясно, что $%p \le 0$% (иначе левая часть будет положительной). Можно придумать для p также оценку снизу. Впрочем, так можно найти только целые решения.
  2. Второй способ - перебор делителей свободного члена, с использованием теоремы Безу. Чтобы его можно было применить, надо сделать первый коэффициент равным 1. Для этого умножим уравнение на $%11^3$%, получим $%11^4p^4+12\cdot 11^3\cdot p^3-11^3=0.$% Введем обозначение 11p = t, тогда $%t^4+12t^3-11^3=0.$% Известно, что все рациональные решения такого уравнения являются целыми.

По теореме Безу t будет делителем свободного члена, т.е. 11^3. В данном случае делителей не так уж много (всего 8), так что их все можно просто перебрать. Есть, правда, способы сокращения перебора. Если Вам нужно - расскажу.

Можно сделать еще так. Введем обозначение p = 1/q, тогда $%11 + 12q-q^4=0$% или $%q^4 - 12 q - 11 = 0$%. В данном случае свободный член 11, q является его делителем, т.е. одним из чисел 1; -1; 11; -11.

Вообще, если корень целочисленного многочлена является рациональным числом p/q, то p есть делитель свободного члена $%a_n$%, а q - делитель старшего коэффициента $%a_0$%.

ссылка

отвечен 2 Авг '12 20:07

изменен 2 Авг '12 20:21

10|600 символов нужно символов осталось
0

В учебнике Макарычева эта задача относится к разделу "Методы решения уравнений с целыми коэффициентами". В теоретическом вступлении к параграфу показывается, как находить целые корни таких уравнений и рассматриваются некоторые типы уравнений. Кроме того, приводится пример уточнения приближенного корня уравнения (деление отрезка на равные части и определение перебором участка, на котором находится корень)
Поскольку заданное уравнение имеет три вещественных корня, и только один из них целый, то надо понимать, что автору надо найти целый корень и приближенное значение двух остальных, показав при этом, что их тоьлко два, а не четыре.
Ответы (для справки) p=0, p =0.39, p=-1.15 (последние два корня приведены с точностью до 0,01)

ссылка

отвечен 3 Авг '12 9:07

изменен 3 Авг '12 9:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,610
×774

задан
2 Авг '12 15:14

показан
4457 раз

обновлен
3 Авг '12 9:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru