Здравствуйте! Нужно исследовать сходимость знакопеременного ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac {\ln ^ {100} n}{n}\sin \frac {n \pi}4$$

задан 4 Сен '15 20:50

10|600 символов нужно символов осталось
2

Ряд сходится по признаку Дирихле. Частичные суммы ряда $%\displaystyle{\sum \, } {\sin \dfrac {n \pi}4}$% ограничены, а последовательность $%\left\lbrace\dfrac {\ln^{100} n}{n}\right\rbrace $% монотонно стремится к нулю, начиная с некоторого $%n_0\ \left(=\lfloor{e^{100}}\rfloor+1\right).$%

ссылка

отвечен 4 Сен '15 21:14

изменен 5 Сен '15 0:37

@Mather: А каким числом ограничены суммы первого ряда?

(4 Сен '15 21:32) Math_2012

Они ограничены числом $%1+2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}.$%

(4 Сен '15 22:23) Mather

@Mather: А как Вы это число получили?

(4 Сен '15 22:54) Math_2012

Достаточно найти первые $%8$% частичных сумм: $%S_1=\frac{\sqrt{2}}{2},\ \ S_2= \frac{\sqrt{2}}{2}+1,\ S_3 =\frac{\sqrt{2}}{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2},\ S_4 = \frac{\sqrt{2}}{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}+0 =S_3,\ S_5=\frac{\sqrt{2}}{2} +1+\frac{\sqrt{2}}{2}+0- \frac{\sqrt{2}}{2}=S_2,\ S_6=\frac{\sqrt{2}}{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}+0-\frac{\sqrt{2}}{2}-1 =S_1,\ S_7=\frac{\sqrt{2}}{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}+0-\frac{\sqrt{2}}{2}-1-\frac{\sqrt{2}}{2}=0,\ S_8=0.$% Дальше значения повторяютя в силу периодичности синуса. Поэтому каждая из частичных сумм не превосходит значения $%1+\sqrt{2}.$%

(4 Сен '15 23:57) Mather
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×834
×443
×294
×86

задан
4 Сен '15 20:50

показан
498 раз

обновлен
5 Сен '15 0:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru