Сколько имеется натуральных чисел n, не превышающих 2000, для которых можно подобрать такие неотрицательные целые x,y,z, что x^2(x^2+2z)−y^2(y^2+2z)=n.

задан 6 Сен '15 16:11

10|600 символов нужно символов осталось
3

$$x^4-y^4+2z(x^2-y^2)=n.$$ Если $%n$% - чётное, то $%x$% и $%y$% одной чётности, $%(x^2-y^2)\vdots4$%. $%(x^4-y^4)\vdots8$%, следовательно $%n\vdots8$%.

С другой стороны, для нечётного $%n$% есть решение $%x=1,y=0,z=\frac{n-1}2$%, а для $%n\vdots8$% есть решение $%x=2,y=0,z=\frac{n-16}8$% (кроме случая $%n=8$%, где нет решения в неотрицательных целых числах - представив уравнение в виде $%z=\frac 4{x^2-y^2}-\frac{x^2+y^2}2$%, это легко проверить перебором).

Ответ: $%\frac{2000}2+\frac{2000}8-1=1249.$%

ссылка

отвечен 6 Сен '15 18:21

изменен 6 Сен '15 20:31

@EdwardTurJ: у Вас опечатка -- на самом деле x=2.

(6 Сен '15 18:50) falcao

@falcao: Спасибо, исправил.

(6 Сен '15 20:31) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
1

Перепишем уравнение в виде $%(x^2-y^2)(x^2+y^2+2z)=n$%. Числа в первой и во второй скобках имеют одинаковую чётность, причём второе больше первого. Если $%n$% нечетно, то нужную тройку чисел подобрать тривиально: $%(1;0;\frac{n-1}2)$%. Для чисел $%n=4k+2$% таких троек не существует, так как произведение скобок чётно, но не кратно 4. Для $%n=4k$% тройка также легко подбирается: $%(2;0;\frac{n}4-2)$%.

Таким образом, имеется 1000 нечетных $%n$% и 500 чётных, итого 1500.

ссылка

отвечен 6 Сен '15 18:07

@knop: указанная Вами тройка (2;0;n/4-2) не удовлетворяет уравнению. Получается 2n вместо n, то есть это соответствует делимости на 8, как это отмечено в "параллельном" решении.

(6 Сен '15 18:49) falcao

Упс, да, увидел уже.

(6 Сен '15 18:57) knop
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,275
×845

задан
6 Сен '15 16:11

показан
1730 раз

обновлен
6 Сен '15 20:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru