Подскажите, пожалуйста, как решать нелинейную систему уравнений?

$$\begin{cases}x^2+y=41\\y^2+x=31\end{cases}$$

Ответ: x=6; y=5, но как решать?

задан 9 Авг '12 7:40

изменен 9 Авг '12 10:40

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

В системе нужно искать целые решения или все?

(9 Авг '12 14:19) Anatoliy
1

Примечание к вопросу Anatoliy, адресованному Хачатуру

Судя по вопросу и ответу Хачатура, ему предложили найти $%\{\langle x, y \rangle \in \mathbb{N}^2| \ x^2 + y = 41 \wedge y^2 + x = 31\}$%.

(10 Авг '12 11:52) Галактион
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%\begin{cases}x^2+y=41\\y^2+x=31\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-36=5-y\\y^2-25=6-x\end{cases}.$% Умножая эти равенства получаем $%(x^2-36)(y^2-25 )=(5-y)(6-x)\Leftrightarrow (x-6)(y-5)((x+6)(y+5)-1)=0.$% Получается совокупность трех систем. $%\begin{cases}x-6=0\\y^2+x=31\end{cases},\begin{cases}y-5=0\\y^2+x=31\end{cases},$% и $%\begin{cases}(x+6)(y+5)-1=0\\y^2+x=31\end{cases}.$% Которые не трудно решить.Решения надо проверить.

ссылка

отвечен 9 Авг '12 12:45

изменен 9 Авг '12 12:48

Последняя система уравнений не совсем простая. Там будем иметь кубическое уравнение. Уравнение третьей степени можно было получить из исходного уравнения без дополнительных преобразований, воспользовавшись подстановкой, и поделив многочлен четвертой степени на х-6 или у-5. Кстати, система уравнений имеет еще три решения, которые не являются целыми.

(9 Авг '12 20:18) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
2
ссылка

отвечен 10 Авг '12 1:30

10|600 символов нужно символов осталось
2

Если нужно искать целые решения, то систему нужно решать так: $%\left\{ \begin{aligned} x^2+y=41,\\ y^2+x=31,\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} x^2-y^2-(x-y)=10,\\ y^2+x=31,\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} (x-y)(x+y-1)=10,\\ y^2+x=31.\\ \end{aligned} \right. $%

Число $%10$% можно представить в виде произведения двух целых чисел одним из способов: $%2\cdot5; -2\cdot(-5); 1\cdot10; -1\cdot(-10).$% Для нахождения целых решений нужно решить восемь систем уравнений (учитываем порядок множителей), например $%\left\{ \begin{aligned} x-y=1,\\ x+y-1=10,\\ y^2+x=31.\\ \end{aligned} \right.$%

ссылка

отвечен 10 Авг '12 23:25

изменен 10 Авг '12 23:26

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,799
×11

задан
9 Авг '12 7:40

показан
1275 раз

обновлен
10 Авг '12 23:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru