|
Подскажите, пожалуйста, как решать нелинейную систему уравнений? $$\begin{cases}x^2+y=41\\y^2+x=31\end{cases}$$ Ответ: x=6; y=5, но как решать? задан 9 Авг '12 7:40 
Хачатур |
|
$%\begin{cases}x^2+y=41\\y^2+x=31\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-36=5-y\\y^2-25=6-x\end{cases}.$% Умножая эти равенства получаем $%(x^2-36)(y^2-25 )=(5-y)(6-x)\Leftrightarrow (x-6)(y-5)((x+6)(y+5)-1)=0.$% Получается совокупность трех систем. $%\begin{cases}x-6=0\\y^2+x=31\end{cases},\begin{cases}y-5=0\\y^2+x=31\end{cases},$% и $%\begin{cases}(x+6)(y+5)-1=0\\y^2+x=31\end{cases}.$% Которые не трудно решить.Решения надо проверить. отвечен 9 Авг '12 12:45 
ASailyan Последняя система уравнений не совсем простая. Там будем иметь кубическое уравнение. Уравнение третьей степени можно было получить из исходного уравнения без дополнительных преобразований, воспользовавшись подстановкой, и поделив многочлен четвертой степени на х-6 или у-5. Кстати, система уравнений имеет еще три решения, которые не являются целыми.
(9 Авг '12 20:18)
Anatoliy
|
|
Если нужно искать целые решения, то систему нужно решать так: $%\left\{ \begin{aligned} x^2+y=41,\\ y^2+x=31,\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} x^2-y^2-(x-y)=10,\\ y^2+x=31,\\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{aligned} (x-y)(x+y-1)=10,\\ y^2+x=31.\\ \end{aligned} \right. $% Число $%10$% можно представить в виде произведения двух целых чисел одним из способов: $%2\cdot5; -2\cdot(-5); 1\cdot10; -1\cdot(-10).$% Для нахождения целых решений нужно решить восемь систем уравнений (учитываем порядок множителей), например $%\left\{ \begin{aligned} x-y=1,\\ x+y-1=10,\\ y^2+x=31.\\ \end{aligned} \right.$% отвечен 10 Авг '12 23:25 
Anatoliy |
В системе нужно искать целые решения или все?
Примечание к вопросу Anatoliy, адресованному Хачатуру
Судя по вопросу и ответу Хачатура, ему предложили найти $%\{\langle x, y \rangle \in \mathbb{N}^2| \ x^2 + y = 41 \wedge y^2 + x = 31\}$%.