Решить уравнение в натуральных числах:

$${2^x} + 17 = {y^2}$$

задан 9 Сен '15 3:34

10|600 символов нужно символов осталось
2

Я пробовал применить те же идеи, что и здесь, где речь шла о похожего вида показательно-диофантовом уравнении.

Случай чётного $%x$% разбирается совсем легко. Для нечётного $%x$% рассмотрим уравнение $%2z^2+17=y^2$%, где $%z=2^{(x-1)/2}$%. Все решения этого уравнения в натуральных числах могут быть в явном виде описаны (примерно как в записи по ссылке). Возникает две серии решений, получаемые из пар $%(y,z)=(5,2)$% или $%(y,z)=(7,4)$% при помощи преобразования $%(y,z)\mapsto(3y+4z,2y+3z)$%. Этот факт я умею доказывать.

Значения переменной $%z$%, которые нас здесь интересуют, описываются рекуррентным уравнением $%z_{n+2}=6z_{n+1}-z_n$%, где начальные значения первых двух членов последовательности равны $%2$%, $%16$% для первого случая и $%4$%, $%26$% для второго. Доказать надо то, что никаких других степеней двойки ни в одной из этих последовательностей больше нет.

Один из методов доказательства мог бы состоять в следующем. Рассматриваем эти последовательности по конечному модулю вида $%2^m$% при достаточно большом $%m$%; выявляем период. Далее смотрим на номера членов, дающих значение 0. После чего пробуем доказать, что эти члены равны нулю также по модулю какого-то другого числа. Для последовательности, анализируемой по ссылке, этот метод проходит. В данном же случае получаются очень большие простые делители, то есть анализ должен вестись по какому-то большому модулю с длинным периодом. Не исключено, что факт отсутствия степеней двойки здесь можно усмотреть из каких-то ещё соображений.

Есть другие методы решения. Один из них основан на арифметических свойствах колец, получаемых из $%\mathbb Z$% присоединением квадратных корней из каких-то чисел. Там обычно что-то удаётся сделать, но чаще всего сложными методами. Также можно свести задачу к свойствам эллиптических кривых: по этому поводу много чего известно. Рассматривая три случая в зависимости от остатка при делении $%x$% на 3, мы получим три уравнения типа $%y^2=x^3+k$%, где $%k$% -- константа. Эти виды уравнений хорошо исследованы. Решений в целых числах там получается конечное число. После чего надо посмотреть, когда $%x$% равно степени двойки, что даст полное описание решений.

ссылка

отвечен 10 Сен '15 2:41

@falcao спасибо за информацию. Вы можете доказать или опровергнуть тот факт, что кроме четырех решений $%(3,5), (5,7), (6,9), (9, 23)$% имеются еще решения? Если есть еще решения, не могли бы вы указать хотя бы одно из них?

(10 Сен '15 18:21) night-raven

@void_pointer: у меня нет полного решения в "замкнутом" виде. Я описал здесь возможные подходы. К сожалению, не сработал до конца элементарный метод, связанный с рассмотрением рекуррентного соотношения.

Я думаю, что решений кроме упомянутых больше нет, и это следует из имеющихся в наличии фактов об эллиптических кривых. В частности, вот ссылка на уравнение $%y^2=x^3+17$%, откуда вытекает полное описание случая показателя $%x$% в исходной задаче, кратного трём. Другие случаи $%y^2=x^3+68$%, $%y^2=x^3+272$%.

(10 Сен '15 20:34) falcao

(продолжение) По ссылке есть онлайн-калькулятор целочисленных решений этих эллиптических уравнений. Если его применить, то видно, что других степеней двойки там больше нет. В принципе, это можно считать доказательством, но оно "непрозрачное".

(10 Сен '15 20:36) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Список ответов: (3,5), (5,7), (6,9), (9, 23). Обоснование: сравнение $%y^2 \equiv 17\pmod{1024}$% не имеет решений. Следовательно, $%2^x$% не делится на 1024, откуда $%x<10$%, -- достаточно перебрать степени двойки, меньшие $%2^{10}$%, и найти все решения среди них.

ссылка

отвечен 9 Сен '15 11:18

изменен 9 Сен '15 11:23

1

@knop: $$233^2=54289=1024\cdot53+17.$$

(9 Сен '15 11:40) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×878
×195
×159

задан
9 Сен '15 3:34

показан
1099 раз

обновлен
10 Сен '15 20:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru