помоги пожалуйста исследовать на равномерную и поточечную сходимость функциональную последовательность. а то я вообще не понимаю алгоритм. fn(x)=sin(x/n) при |х|<1. заранее спасибо.

задан 9 Сен '15 11:15

а если дана такая функциональная последовательность fn(x)=ln(x+1/n) на множестве x>1. как в данном случае рассуждать? подскажите пожалуйста

(1 Окт '15 13:15) V_Buynov

@slavka: прежде всего, здесь последовательность поточечно сходится к $%f(x)=\ln x$%, так как $%1/n\to0$%. Рассматриваем разность $%f_n(x)-f(x)=\ln(1+\frac1{nx})$%. Она положительна, и всегда меньше $%\ln(1+\frac1n)$%, что не зависит от $%x$% и стремится к нулю. Значит, сходимость равномерная.

(1 Окт '15 14:04) falcao

а если использовать отрицание Коши и взять например x=3-1/n, то получится что fn(x)-f(x)>=e(эпсилон) , и получается что равномерно не сходится. или я что-то не так понимаю.

(1 Окт '15 14:46) V_Buynov

@slavka: это неправильно, потому что $%x$% от $%n$% не зависит. А в Вашем примере вообще не участвует число "эпсилон". Откуда взялось само неравенство, которое Вы написали?

(1 Окт '15 15:07) falcao

я беру любое х и отрицаю по теореме Коши что существует окрестность для точки х, в которой |fn(x)-f(x)|>=e. почему так нельзя?

(1 Окт '15 15:09) V_Buynov

@slavka: а чему при этом у Вас равно "эпсилон", и почему неравенство будет верно? Кроме того, если Вы берёте произвольное $%x$%, то оно должно быть фиксированным, не зависящим от $%n$%.

Этот пример с логарифмом вообще очень простой. Было бы полезнее понять доказательство, и тогда вопрос был бы снят.

(1 Окт '15 15:37) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Поточечная сходимость: сходится ли при каждом $%x$% последовательность $%f_n(x).$% Так как х/n → 0 при $%n → \infty,\,\sin x/n→0$% при любом $%x$%. Значит, поточечная сходимость есть, и сходится функциональная последовательность к 0.

А как меняется супремум величины $%|f(x)|$%? Он для каждого n меньше 1/n, поэтому стремится к 0. Значит, и равномерная сходимость существует.

ссылка

отвечен 9 Сен '15 22:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,417

задан
9 Сен '15 11:15

показан
255 раз

обновлен
1 Окт '15 15:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru