|
помоги пожалуйста исследовать на равномерную и поточечную сходимость функциональную последовательность. а то я вообще не понимаю алгоритм. fn(x)=sin(x/n) при |х|<1. заранее спасибо. задан 9 Сен '15 11:15 
V_Buynov
показано 5 из 6
показать еще 1
|
|
Поточечная сходимость: сходится ли при каждом $%x$% последовательность $%f_n(x).$% Так как х/n → 0 при $%n → \infty,\,\sin x/n→0$% при любом $%x$%. Значит, поточечная сходимость есть, и сходится функциональная последовательность к 0. А как меняется супремум величины $%|f(x)|$%? Он для каждого n меньше 1/n, поэтому стремится к 0. Значит, и равномерная сходимость существует. отвечен 9 Сен '15 22:45 
trongsund |
а если дана такая функциональная последовательность fn(x)=ln(x+1/n) на множестве x>1. как в данном случае рассуждать? подскажите пожалуйста
@slavka: прежде всего, здесь последовательность поточечно сходится к $%f(x)=\ln x$%, так как $%1/n\to0$%. Рассматриваем разность $%f_n(x)-f(x)=\ln(1+\frac1{nx})$%. Она положительна, и всегда меньше $%\ln(1+\frac1n)$%, что не зависит от $%x$% и стремится к нулю. Значит, сходимость равномерная.
а если использовать отрицание Коши и взять например x=3-1/n, то получится что fn(x)-f(x)>=e(эпсилон) , и получается что равномерно не сходится. или я что-то не так понимаю.
@slavka: это неправильно, потому что $%x$% от $%n$% не зависит. А в Вашем примере вообще не участвует число "эпсилон". Откуда взялось само неравенство, которое Вы написали?
я беру любое х и отрицаю по теореме Коши что существует окрестность для точки х, в которой |fn(x)-f(x)|>=e. почему так нельзя?
@slavka: а чему при этом у Вас равно "эпсилон", и почему неравенство будет верно? Кроме того, если Вы берёте произвольное $%x$%, то оно должно быть фиксированным, не зависящим от $%n$%.
Этот пример с логарифмом вообще очень простой. Было бы полезнее понять доказательство, и тогда вопрос был бы снят.