Здравствуйте! Нужно исследовать сходимость знакопеременного ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n \frac {\sqrt n}{n + 100}$$

задан 9 Сен '15 21:06

Признаком Лейбница. Общий член стремится к нулю, остается проверить монотонность последовательности $%\left\lbrace\frac {\sqrt n}{n + 100}\right\rbrace$%

(9 Сен '15 21:41) Mather
10|600 символов нужно символов осталось
2

Ряд знакочередующийся, поэтому применяем признак Лейбница: $$ lim_{n\to \inf}\frac{\sqrt{n}}{n+100}=0$$

$$a_{n} > a_{n+1}$$ $$\frac{\sqrt{n}}{n+100} > \frac{\sqrt{n+1}}{n+101}$$ Что можно доказать с помощью производной $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{(x+100)} $$ $$f'(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+100)-\sqrt{x}}{(100+x)^2}=\frac{x+100-2x}{2\sqrt{x}(100+x)^2}=\frac{-x+100}{2\sqrt{x}(100+x)^2} $$ То есть функция убывает начиная со 100, следовательно последующий член ряда будет меньше предыдущего начиная с сотого члена.

ссылка

отвечен 9 Сен '15 22:03

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×888
×455
×305
×86

задан
9 Сен '15 21:06

показан
603 раза

обновлен
9 Сен '15 22:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru