|
Здравствуйте! Нужно найти предел последовательности: $$x_n = \frac{n!}{n^n}$$ Тут нужно порядок роста функций использовать? задан 11 Сен '15 1:12 
Math_2012 |
|
Можно и порядок роста, но на самом деле равенство предела нулю можно доказать гораздо точнее напрямую. В самом деле, $%n$%-й член последовательности представляет собой произведение $%n$% неотрицательных множителей, каждый из которых меньше 1; притом $%\lfloor n/2\rfloor$% множителей меньше $%1/2.$% Значит, $%n$%-й член последовательности будет меньше $%2^{-n/2+1},$% а так как эта величина стремится к нулю, а все члены неотрицательны, то по теореме о двух милиционерах и сама эта последовательность будет стремиться к нулю. отвечен 11 Сен '15 1:27 
trongsund @trongsund: Только, по-моему, меньше или равны 1 эти n сомножителей?
(11 Сен '15 12:12)
Math_2012
@Anna_2012: в решении это как раз и сказано: все сомножители <=1, а примерно половина из них <=1/2, то есть произведение меньше q^n, где q<1.
(11 Сен '15 16:33)
falcao
@Anna_2012: можно. Здесь предел 1/e получится, если применить признак Даламбера. Но в данном случае это более сложно, так как требует знания числа e, а другие соображения совсем элементарны.
(14 Сен '15 2:24)
falcao
|
См. math.hashcode.ru/questions/44869/