Существует ли биекция $% f:\mathbb R х \mathbb R → \mathbb R$% вида $%f(x,y)=g(x)+h(y)$%?

задан 13 Сен '15 17:00

10|600 символов нужно символов осталось
3

Рассмотрим базис Гамеля для $%\mathbb R$% как линейного пространства над полем $%\mathbb Q.$% Понятно, что этот базис будет континуален, что по нему можно построить аналогичный базис для $%\mathbb R\times\mathbb R$% как поля над $%\mathbb Q$% и он тоже будет континуален. Следовательно, $%\mathbb R\oplus\mathbb R$% и $%\mathbb R$% как векторные пространства над $%\mathbb Q$% изоморфны.

Значит, можно между ними построить биекцию указанного в условии вида, где $%g(x)=f(x,0),$% а $%h(y)=f(0, y).$% Тогда $%g(x)+h(y)=f(x, 0)+f(0,y)=f(x+0,0+y)=f(x,y).$%

ссылка

отвечен 13 Сен '15 17:29

@trongsund: прошу прощения, не могли бы вы несколько подробнее ответить. Я всего-навсего 1 курс. Со многими определениями еще не знакома. Но научиться решать интересные задачи хотелось бы.

(13 Сен '15 17:32) stander

@stander: в данном случае конструкция типа базиса Гамеля выглядит, по сути дела, неизбежной. Поэтому соответствующий теоретический аппарат должен быть предварительно изучен. Речь идёт о том факте, что у всякого векторного пространства есть хотя бы один базис. Это доказывается при помощи аксиомы выбора (или эквивалентного ей утверждения типа леммы Цорна). Вся эта теория изложена в литературе; можно также посмотреть здесь ту часть, которая имеет отношение к вопросу.

(13 Сен '15 17:46) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,993
×117
×14

задан
13 Сен '15 17:00

показан
797 раз

обновлен
13 Сен '15 17:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru