Для любых $%a, b, c>1$% таких, что $%\frac 1a + \frac 1b + \frac 1c = 1$%, доказать неравенство $$a^2b^2c^2\le a^{b+1}c+ b^{c+1}a+c^{a+1}b.$$

задан 13 Сен '15 18:07

изменен 13 Сен '15 22:13

@Роман83: В последнем слагаемом всё так?

(13 Сен '15 21:26) EdwardTurJ

@EdwardTurJ: Спасибо! Исправил!

(13 Сен '15 22:14) Роман83
10|600 символов нужно символов осталось
3

Воспользуемся весовым неравенством Коши $$x_1^{p_1}\cdot x_2^{p_2}\cdot...\cdot x_n^{p_n}\le p_1x_1+p_2x_2+...+p_nx_n,\text{ где }p_1+p_2+...+p_n=1.$$ Положим $%n=3$%, $%p_1=\frac1b$%, $%p_2=\frac1c$%, $%p_1=\frac1c$%, $%x_1=a^b$%, $%x_2=b^c$%, $%x_3=c^a$%: $$abc\le\frac{a^b}b+\frac{b^c}c+\frac{c^a}a,$$ или $$a^2b^2c^2\le a^{b+1}c+b^{c+1}a+c^{a+1}b.$$

ссылка

отвечен 14 Сен '15 18:12

изменен 14 Сен '15 19:17

@EdwardTurJ есть ли ограничения на то какие значения могут принимать $%{p_1},{p_2}, \ldots ,{p_n}$% и $%{x_1},{x_2}, \ldots ,{x_n}$%? Когда достигается равенство?

(14 Сен '15 18:50) void_pointer

@void_pointer: Как и в классическом неравенстве Коши, все переменные неотрицательные, а равенство достигается только при $%x_1=x_2=...=x_n$%.

(14 Сен '15 19:17) EdwardTurJ
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×172

задан
13 Сен '15 18:07

показан
384 раза

обновлен
14 Сен '15 19:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru