Сколько существует натуральных чисел x, меньших 30000, таких, что остаток числа x^2 при делении на 100 совпадает с остатком квадрата последней цифры числа x при делении на 100?

задан 13 Сен '15 18:53

10|600 символов нужно символов осталось
1

Надо заметить, что квадрат цифры всегда меньше 100, поэтому совпадает со своим остатком от деления на 100. Пусть $%x=10k+r$%, где $%r$% -- последняя цифра. Тогда разность квадратов, равная $%(10k+r)^2-r^2=10k(10k+2r)$% делится на 100, то есть $%k(5k+r)$% делится на 5. Это значит, что на 5 делится $%k$% или $%r$%. Остаётся подсчитать, сколько имеется чисел $%x$% в заданных пределах с указанным свойством.

Удобно подсчитать числа, не превосходящие 30000, а затем вычесть единицу, так как самое последнее из чисел не должно учитываться. Каждое пятое число делится на 5, поэтому $%r$% кратно 5 в 6000 случаях. Далее, $%k$% кратно 5, если предпоследняя цифра равна 0 или 5. Таких случаев также 6000 (по 20 на каждую сотню подряд идущих). Наконец, надо вычесть количество чисел, для которых и $%k$%, и $%r$% кратны 5, то есть число оканчивается на 00, 05, 50 или 55. Таких 4 на сотню, а всего 1200. Ответом будет $%6000+6000-1200-1=10799$%.

ссылка

отвечен 13 Сен '15 19:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,027

задан
13 Сен '15 18:53

показан
2092 раза

обновлен
13 Сен '15 19:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru