Пусть задан некоторый - для определённости - горизонтальный отрезок. Построим на этом отрезке, как на диаметре, прямоугольный треугольник с небольшой по величине высотой, близкой по размеру к малому катету. На большем катете полученного треугольника снова построим прямоугольный треугольник с небольшой по размеру высотой с тем же, предыдущим условием. Продолжим это построение n раз. Теперь потребуем, чтобы площадь каждого треугольника устремилась к нулю. Найти уравнение геометрического места вершин треугольников, если n устремить к бесконечности.

задан 12 Авг '12 15:21

изменен 25 Окт '12 22:31

Что значит "как на диаметре"? Может, Вы имели в виду гипотенузу?
Что такое "траектория геометрического места"? Вы имеет в виду предельное положение вершин? Или след, оставляемый вершиной при устремлении площади к 0?

Вызывает сомнение условие "площадь каждого треугольника устремилась в 0". Как именно они устремляются - независимо друг от друга или по какому-то общему закону? Кстати, n надо устремить к бесконечности до перехода к пределу по площадям. Если n конечно, то все вершины стремятся к одной точке.

(12 Авг '12 16:04) DocentI

Да,конечно, как на гипотенузе... А у меня нет никаких сомнений, что площадь каждого треугольника можно устремить к нулю, если высоту его устремить к нулю. Наверно, это не имеет значения: все ли они одновременно устремляются или по частям, по плану или беспланово. Или у Вас есть сомнения? (У кого больше знаний, у того и сомнений больше) По поводуn согласен: сначала n, потом площади. ("Деньги вперёд, стулья потом")... Я имею в виду предельное положение бесконечного множества вершин.

(12 Авг '12 17:31) nikolaykruzh...

Потому что здесь правил @ХэшКод. Гиперссылка прямо под вопросом, рядом с информацией об авторе.

(12 Авг '12 23:34) DocentI

@ХэшКод, Вы действительно считаете что бывает "траектория геометрического места"? Впрочем, заголовок отражает стиль автора...

(12 Авг '12 23:36) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Когда предельное положение зависит от поведения нескольких (тем более - бесконечного числа) величин, это всегда чревато неожиданностями. Есть такое понятие как равномерная сходимость, оно является частым требованием в теоремах о сходимости с параметром.
Представьте себе две ситуации.
1. Все построенные треугольники подобны и при стремлении площадей к 0 остаются подобными.
2. каждая следующая площадь больше предыдущей (хотя и мала сама по себе).

Боюсь, что результаты сходимости будут разными. Но, конечно, это надо еще додумать.

Разобрала первый случай. Поместим вершину общего (самого маленького) угла треугольников в начало системы полярных координат. Обозначим меньший угол треугольников через $%\alpha$%. Тогда радиусы, соответствующие углам $%n\alpha$%, равны $%c\cdot\cos^n\alpha$%. Разделим угол $%\alpha$% на k частей. В этом случае каждому углу $%n\alpha$% соответствует радиус $%c\cdot\cos^{nk}{\alpha\over k}$%. При $%k\to \infty$% это выражение стремится к $%с$%, так что предельным положением набора вершин треугольников будет окружность с центром в конце первой гипотенузы.

Дополнение. Приведу рассуждение, показывающее, что скорее всего результирующая кривая всегда будет дугой окружности.
Рассмотрим набор треугольников в полярной системе координат.
alt text
Для точки, являющейся вершиной n-го треугольника имеем $%\varphi_n=\sum_{i=1}^n\alpha_i, r_n=\prod_{i=1}^n\cos\alpha_i$%. Для малых альфа имеем $%\cos\alpha > 1 -\alpha^2/2$%. Тогда произведение $%\prod_{i=1}^n\cos\alpha_i >\prod_{i=1}^n(1-\alpha_i^2/2)> 1-0.5\sum_{i=1}^n\alpha_i^2$%.
Но по неравенству между средними имеем $%\sum_{i=1}^n\alpha_i^2\ge {(\sum_{i=1}^n\alpha_i)^2\over n} = {(\varphi_n)^2\over n}$%.

Если считать, что $%\varphi_n = \varphi = const$%, т.е. соответствует фиксированному направлению в полярных координатах, то $%1>r_n>1-{\varphi^2\over 2n}$%, так что по теореме о зажатой последовательности $%r_n\to 1$%

ссылка

отвечен 12 Авг '12 23:41

изменен 16 Авг '12 23:47

Если это окружность, встаёт вопрос: где она заканчивается, на каком угле $%lim n\times альфа$%, если n стремится к ∞, а альфа стремится к нулю? Может, это будет не окружность, а сама первая гипотенуза, потому что вопрос об угловом положении последнего радиуса окружности не ясен? А вводить величину k необходимо? Нельзя ли обойтись только величной n, как при выводе формулы длины окружности из суммы сторон многоугольников при тех же условиях, что и у нас? Что Вы скажете? Может, кто-то ещё подключится к обсуждению?

(13 Авг '12 13:11) nikolaykruzh...

Может получиться любой кусок окружности, в зависимости от того, как меняются углы. Например, вы строите треугольники с меньшими углами $%\alpha, \alpha/2, \alpha/4...$% Такая конструкция доберется при $%n\to \infty$% только до $%2\alpha$%. При $%\alpha\to 0$% в пределе будет одна гипотенуза.
Выбирая исходные (и текущие) углы по-другому, получим другую дугу окружности.
Не знаю, можно ли получить НЕ окружность, надо еще подумать.

(13 Авг '12 15:57) DocentI

Если углы меняются по закону гармонического ряда, то, выходит, радиус будет бесконечно кружить вокруг исходной точки вращения (начала полярной системы)даже если исходный угол стремится к нулю. Хотя нет: это зависит от скорости движения альфа к нулю и скорости движения суммы гармонического ряда к ∞ ... Как Вы вводите греческие буквы? Я пытался копировать из других текстов, он мне высвечивает прямоугольничек вместо греческой буквы... Синюю ссылку (донос на @Iranda) я так и не нашёл!.. Неокружность должна получиться при некоторых условиях? Но при каких?.. Почему Вы фото заменили свечой? Символ?

(13 Авг '12 17:55) nikolaykruzh...

Огонь свечи на аватаре, если Вы заметили, состоит из потока воды. Для меня это символ холодного разума.

Да, если углы пропорциональны членам расходящегося ряда, например, гармонического, то будет бесконечно повторенная окружность.
Что касается "скорости движения гармонического ряда к бесконечности" - непонятно. Вы имеете в виду скорость роста n? Конечно, если этот параметр меняется "вместе" с $%\alpha$%, результат может получиться самым разным. Я думала, мы сначала устремляем n к бесконечности, а потом "занимаемся" углами.
Оформление греческих букв - личным письмом.

(14 Авг '12 20:22) DocentI

Да, конечно. Вы поставили условие, и я с ним согласился: сначала n, потом площади ("Деньги вперёд, стулья потом"). Спасибо! Увеличить аватар я не умею, а уже есть проблемы со зрением, поэтому холодный разум могу представить только из Ваших слов, но весь Ваш имидж среди членов Сообщества демонстрирует наличие этого важного для математика (и чекиста! - по Ф. Э. Дзержинскому) редкостного качества у Вас как неотъемлемую черту личности, удивительную для женщины. Так ли поймёте, что я хотел выразить? Уж слишком накручено даже для моей обычной манеры выражаться витиевато.

(15 Авг '12 9:38) nikolaykruzh...

Можно увидеть аватарки покрупнее в профиле участника. Это можно сделать из любого места, где имя участника записано как гиперссылка (синее и подчеркнутое)

(16 Авг '12 0:50) DocentI

В Дополнении математических противоречий я не нашёл. Как будто всё так. Но? Если r(n) = 1, а $%\phi$% = const > 0, то это не вяжется со здравым смыслом. Чем дальше r(n) отклоняется по дуге окружности от отрезка r = 1 , тем сильнее больший катет отклоняется от окружности согласно самой схеме построения, потому что каждый последующий больший катет меньше предыдущего, и этот эффект должен интегрально нарастать. Если же r(n) = 1, то и $%\phi$% = const = 0. Вы не находите?

(17 Авг '12 1:58) nikolaykruzh...

Дополнение не строго обосновано, например, при некоторых последовательностях суммарный угол не будет точно равен $%\phi$%. Да и неравенство для произведения вызывает сомнения (я его не продумывала).
Насчет интегрального нарастания эффекта: нарастает, но слишком медленно. Потому что $%1-\cos \alpha$% меняется как квадрат $%\alpha$%, это величина другого порядка. Если $%\alpha_i=\varphi/n$%, то сумма квадратов равна $%\varphi^2/n\to 0$%

(17 Авг '12 21:41) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,555

задан
12 Авг '12 15:21

показан
849 раз

обновлен
25 Окт '12 22:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru