Отношение $%W$% на множестве $%X$% есть подмножество множества $%X \times X$%, которое может иметь следующие свойства:

A. Рефлексивность если $%(x,x) \in R$% для всех $%x \in X$%

B. Транзитивность если $%(x,y) \in W$% и $%(y,x) \in W$% $% \to (x,z) \in W$% для всех $%x,y,z \in X$%

С. Симметричность если $%(x,y) \in W \to (y,x) \in W$% для всех $%x,y \in X$%

D. Антисимметричность если $%(x,y) \in W$% и $%x \ne y \to (y,x) \notin W$% для всех $%x,y \in X$%

E. Асимметричность если $%(x,y) \in W \to (y,x) \notin W$% для всех $%x,y \in X$%

F. Полноценность если $%(x,y) \in W$% или $%(y,x) \in W$% для всех $%x,y \in X$%

Определить свойства следующих отношений:

1) Отношение $%W_1$% на множестве $%\mathbb R^2=\{(x,y)\,:\, x,y \in \mathbb R\}$% задано в виде $%W_1=\{((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \,:\,y_1\leq y_2\}$%

2) Отношение $%W_2$% на множестве $%\mathbb R^2=\{(x,y)\,:\, x,y \in \mathbb R\}$% задано в виде $%W_2=\{((x_1,y_1),(x_2,y_2)) \,:\,x_1 \leq x_2+1,\, y_1\geq y_2+1\}$%

3) Отношение $%W_3$% на множестве $%\mathbb N_+=\{1,2,3,4,\ldots\}$% задано в виде $%W_3=\{(m,n) \,:\,m\cdot n= k\cdot 2,\, k\in \mathbb N_+\}$%

задан 20 Сен '15 4:48

изменен 20 Сен '15 5:18

1

В пункте B есть мелкая опечатка. Среди свойств можно было бы ещё рассмотреть антирефлексивность.

У меня получилось так: 1) ABF 2) DE 3) C. Другими свойствами отношения не обладают.

Какой из пунктов или какое из свойств вызвало здесь интерес или трудности?

(20 Сен '15 6:08) falcao

@falcao спасибо за ответ, просто хотел сверить решение.

(20 Сен '15 6:42) night-raven

@falcao У меня получилось 1) ABEF 2) D 3) C. В первом почему вы пропустили Асимметричность? Ведь если отношение не симметрично и не антисимметрично, то оно должно быть ассиметричным или я не прав? Насчет 2) Ассиметричность значит не симметрично и не антисимметрично, а так как отношение антисимметрично, то оно не может быть ассиметричным или я не прав?

(20 Сен '15 7:01) night-raven

@void_pointer: рефлексивное отношение на непустом множестве не может быть асимметричным. При x=y из $%(x,y)\in W$% (что верно) не следует $%(y,x)\notin W$% (что неверно).

В пункте 2) верно как D, так и E. Из условия $%y_1\ge y_2+1$% следует $%y_1 > y_2$%, поэтому $%y_2 > y_1$% быть уже не может.

Асиметричность означает то, что сказано в определении. Это как бы "сильная антисимметричность", которая не допускает $%x W y$% и $%y W x$% одновременно (как для отношения $%<$%).

(20 Сен '15 7:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×506
×326
×89

задан
20 Сен '15 4:48

показан
670 раз

обновлен
20 Сен '15 7:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru