Хорошо известно, что коника на плоскости задаётся пятью точками. Следовательно, через три точки общего положения $%A$%, $%B$%, $%C$% проходит бесконечное множество разных коник. В частности, замкнутых (то есть эллипсов). А так как эллипс - выпуклая фигура, а площадь является непрерывной функцией от координат точек, то среди всех таких эллипсов должен быть эллипс, имеющий наименьшую площадь.

Вопрос в том, как найти этот эллипс и чему равна эта площадь.

Моя гипотеза состоит в том, что касательные к эллипсу в трех заданных точках должны быть параллельны противоположным сторонам треугольника (т.е. касательная в т. А параллельна BC и т.п.). Соответственно, вопрос разбивается на три независимых.

1) Доказать или опровергнуть гипотезу.

2) Объяснить, почему эллипс, удовлетворяющий гипотезе, существует и единственен.

3) Предположим, что и гипотеза, и факт 2) верны. Чему равны оси такого эллипса и, соответственно, его площадь?

Ответов не знаю, буду благодарен за любые полезные идеи.

задан 21 Сен '15 13:04

изменен 21 Сен '15 13:06

1

"Беглое" соображение: три точки аффинно переводим в вершины равностороннего треугольника. Для него задача должна решаться несложно, то есть эллипсом минимальной площади должен быть описанный круг. Из этого соображения что-то должно следовать.

(21 Сен '15 14:57) falcao

@falcao. Да, я тоже примерно так и предполагал делать. Только лучше переводить не произвольным аффинным преобразованием, а конкретной инверсией. Она сохраняет углы, а значит, параллельность. Поэтому касательные к окр. перейдут в касательные к эллипсу и останутся параллельными сторонам.

(21 Сен '15 17:50) knop

@knop: я думаю, аффинное преобразование всё-таки лучше, потому что оно сохраняет и параллельность, и свойство быть касательной. Помимо этого, сразу известно отношение площадей. Оно такое же, как для равностороннего треугольника, то есть $%\frac{4\pi}{3\sqrt3}$%. А из уравнения окружности явно строится уравнения эллипса, и можно найти полуоси.

(21 Сен '15 22:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×234
×39
×23

задан
21 Сен '15 13:04

показан
1133 раза

обновлен
21 Сен '15 22:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru