Пусть дан треугольник с основанием d. Стороны a и b - переменные величины. Найти уравнение геометрического места вершин треугольников, для которых $%ad = b^2$% $%(a < b < d)$%

задан 15 Авг '12 16:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text
Кривая линия - искомое ГМТ (при d = 1). График не является графиком функции от x (минимальное значение x находится не в нижнем конце). Также показан один из возможных треугольников.
Для построения использовано параметрическое задание ГМТ. Параметр - величина a. Получаем, что

$$x = {a^2 - ad \over 2d}$$ $$y=\sqrt{a^2-(x+d/2)^2}$$ Основанием треугольника является отрезок от -d/2 до d/2 на оси Ox.

ссылка

отвечен 16 Авг '12 17:28

изменен 16 Авг '12 22:43

Почему кривая не доходит до основания треугольника? Разве на основании нет точки, для которой выполняется заданное требование вопроса? Ваш ответ мне больше нравится, чем ответ "Anatoliy (он ближе к моему), но кликать подожду: с моим он не совпадает. По крайней мере, так мне кажется. Вы строили график по программе, компьютерно? К какому виду кривых относится Ваше творение?

(16 Авг '12 19:21) nikolaykruzh...

Да, по программе. Надеюсь, не сделала ошибок. Кривая доходит до основания, просто у меня шаг (при построении графика) неподходящий. Вставлю рисунок с меньшим шагом.

Если исключить a из уравнений для x, y, получим уравнение 4-го порядка.

(16 Авг '12 22:38) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Допустимыми точками для вершин треугольника являются точки области $%OZMN$% (заштрихована). Если $%Z(x;y)$% - вершина треугольника, то координаты этой точки ($%a;\varphi$%) удовлетворяют уравнению $%a\cdot d=a^2+d^2−2a\cdot d\cdot cos\varphi$%, где $%-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}, \varphi\ne 0; a>0$%.

alt text

Из последнего уравнения получаем $%a=\frac{d(2cos\varphi+1)}{2}\pm\frac{d\sqrt{4cos^2\varphi+4cos\varphi-3}}{2}$%. Учитывая ограничения, окончательно получим $%a=\frac{d(2cos\varphi+1)}{2}-\frac{d\sqrt{4cos^2\varphi+4cos\varphi-3}}{2}$%. Подкоренное выражение в формуле должно быть неотрицательным, это справедливо при $%-\frac{\pi}{3}\le\varphi\le\frac{\pi}{3}$%. График уравнения при $%d=2$%. alt text

ссылка

отвечен 16 Авг '12 13:34

изменен 16 Авг '12 21:37

Математически вроде всё правильно, но... Почему область значений, а не кривая, как у @DocentI? Ведь каждому значению $% ad = b^2$% отвечает одна точка Вашей заштрихованной области. Соседняя с нею уже не отвечает поставленному требованию. Я пока не могу понять, почему такое несоответствие: вместо кривой - область! Посмотрите Вы сам.

(16 Авг '12 19:52) nikolaykruzh...

Вначале указана область допустимых значений для вершин треугольников (определяется условием $%a<b<d$%). Затем из этого множества выбираются те точки, которые удовлетворяют уравнению $%ad=b^2$%. Для получения окончательного уравнения учитывается область допустимых значений. У Доцента это не учтено: проведено построение зависимости с помощью программы построения графиков функций с выставленными параметрами (не могу сказать на основе чего).

(16 Авг '12 23:52) Anatoliy

@Anatoliy Ну, результат-то у нас с Вами практически одинаковый. Разве что я не нарисовала нижнюю, симметричную часть кривой.

(17 Авг '12 0:02) DocentI

В предыдущем комментарии я достаточно пояснил отличие моего решения от Вашего. Если вы профессионал своего дела, то Вам, я думаю, не стоит повторно об этом напоминать. Внешнее сходство (часть его) решений еще ничего не означает. Здесь совсем другое - человек иногда проявляет слабость, если это касается его личных интересов.

(17 Авг '12 13:40) Anatoliy

У меня уравнение такое.$$ (b/a)^ {1/x} = (d/b)^{1/x} = (5^{1/2}+ 1)/2$$, или из двух последних: $$b = d/(5^{1/2}+ 1)/2)^{1/x}$$ $%1 < x < ∞$%; $%b < d)$%

(17 Авг '12 16:11) nikolaykruzh...

@Anatoliy, я же не утверждаю, что дала полное решение. Я и не ставила такую цель. Если говорить об "уравнении", то в координатах это будет некоторое соотношение 4-ой степени, выписывать которое у меня нет никакой охоты.

(17 Авг '12 22:28) DocentI

@Anatoliy, честно говоря эта тема (где вылезают a, b, d и x) уже меня заколебала в прошлых обсуждениях, так что серьезно заниматься ею я не буду.

(17 Авг '12 23:40) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,395

задан
15 Авг '12 16:37

показан
697 раз

обновлен
17 Авг '12 23:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru