аналитическая-геометрия - Расчет длины дуги

Игла (если плита - пластмасса, дерево и проч.) или резец (если плита металлическая). Зачем задаётся вращение диска с иглой-резцом? Царапина ведь будет разной глубины, потому что резец вращается (вошёл в контакт с плитой, врезался, вращаясь, сделал царапину разной глубины и вышел из контакта). Или глубина остаётся всё время постоянной, исключая износ инструмента, потому что ось вращения диска перемещается на всю ширину плиты, от торца до торца, а резец в это время не вращается? А чтобы сделать новую царапину, инструмент (резец) перемещается на заданный шаг вдоль плиты в тот период, пока он не находится в контакте с плитой. Может, так надо понять Вашу конструкцию? И конструкция непонятная, и объяснение не лучше. Есть строгальный станок. Резец стоит на месте. Плита закреплена на подвижном столе. Плита механически перемещается на заданную величину, резец делает на ней паз (углубление) заданной формы. Плита возвращается в исходное положение, автоматически перемещается на величину заданного шага между царапинами (углублениями) перпендикулярно направлению движения резца, и резец делает новый паз. Зачем резец-игла вращается, непонятно. Ничего непонятно... Вот теперь совсем другое дело! Шлифовальный круг. Сделал он один проход, ему устанавливают новую глубину проходки, он делает второй проход и т. д. Вопрос второй. Что Вы хотите выяснить в вопросе эксплуатации шлифовального круга? Глубина рисок зависит от величины зёрен (круги для грубой шлифовки, для точной и т. д.); если Вы хотите получить качественную поверхность, ставьте соответствующий круг. Износ его? Проще купить новый круг, чем проводить исследование. Или Ваш завод изготавливает круги , и Вам дали технологическое задание? Итак, вопрос второй... Длину каждой риски рассчитать невозможно: их слишком много на поверхности круга. А рассчитывать глубину риски для одного, отдельно взятого зерна - эта задача сродни такой: найти в море песчинку, размеры которой соответствуют точному кубу +/- допуск на размер. Это просто несерьёзно. Нет таких кругов, у которых на поверхности вкраплено одно зерно, с которым можно было бы проводить эксперимент. Прежде чем РАССЧИТАТЬ, надо иметь опытные данные по износу зерна данного абразива при контакте с данным металлом, имеющим заданные технологические параметры. Вы взяли на себя непосильную ношу.

Введем обозначения: $%R$% - радиус круга, $%l$% - первоначальная длина иглы, $%h$% - величина зазора между кругом и плоскостью ($%h=CD, h < l$%), $%\Delta l$% - величина износа иглы при каждом обороте, $%s_i$% - длина риски после $%i$%-го оборота. Тогда $%s_i=2\sqrt{(R+l-i\cdot\Delta l)^2-(R+h)^2},0\le i\le\frac{l-h}{\Delta l}$%. Сумма длин всех рисок $$s=2\cdot\sum_{i=0}^{[\frac{l-h}{\Delta l}]}{\sqrt{(R+l-i\cdot\Delta l)^2-(R+h)^2}}.$$ Если параметры системы позволяют, то величинами $%h$% и $%(\Delta l)^2$% можно пренебречь.