0
1

Здравствуйте.

Окружность с радиально установленной на периферии иголкой вращается и царапает плоскость иголкой, при этом окружность одновременно перемещается вдоль плоскости. За каждый оборот иголка изнашивается на определенную величину. Как рассчитать длины рисок, оставляемых иголкой на плоскости?

задан 16 Авг '12 9:21

изменен 16 Авг '12 14:32

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

  • Что значит "радиально установленная иголка"? Она расположена вдоль радиуса окружности? Тогда как она может царапать плоскость?

  • Что такое периферия окружности? Такого не бывает. Окружность - "периферия" круга (хотя это и не математическое понятие).

  • Что такое "оборот", если окружность еще и скользит. Например, если окружность будет только сдвигаться, без поворота, износа не будет?

(16 Авг '12 13:00) DocentI
  1. Радиально установленная иголка - шип, торчащий из окружности наружу, перпендикулярно касательной к окружности, проведенной в точке выхода иголки из окружности.
  2. см. 1.
  3. Попробую процесс описать заново: окружность с иглой стоит на месте. Окружность поворачивается на полный оборот, во время этого оборота иголка царапает плоскость, оставляет риску, выходит из контакта с плоскостью. Затем окружность с иглой перемещаются на опр. величину вдоль оси окружности. Это для того, чтобы иголка не попала в туже царапину. Циклическое нагружение иголки, с одновременным уменьшением ее длины и укорочением длины каждой последующей риски, оставляемой иголкой.
(16 Авг '12 14:08) dva79

Объяснения ничего не прояснили. Учтите, что мы не видим рисунка! Что значит "наружу"? Шип расположен перпендикулярно плоскости круга или параллельно ему? И как расположена плоскость круга по отношению к плоскости , которую царапают? Почему каждый раз путь иглы укорачивается, она что, приближается к оси?

(16 Авг '12 17:35) DocentI

А где же учет износа иглы после каждого i-го прохода?

(19 Авг '12 22:46) dva79

А где же учет износа иглы после каждого i-го прохода?

@dva79, это к кому вопрос? Пишите комментарий под ответом, а еще лучше вставлять обращение-ник.

(21 Авг '12 0:35) DocentI

Задача непонравилась. Очень неясное условие. Не хочу ломать свой мозг попусту. Дайте нормальное условие, пожалуйста.

(22 Авг '12 12:13) gecube
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Я попыталась представить конструкцию по Вашему описанию. Получилось что-то такое. Верно?
alt text
Дополнение. После героических умственных усилий, кажется, поняла, как выглядит конструкция. Окружность расположена вертикально, а игла торчит вдоль ее плоскости. Все-таки надо как-то четче ставить задачу, если хотите, чтобы ее решали!
Нужно ли учитывать, что при одном "проходе" в конце игла уже короче, чем вначале?

Дополнение 2. Рассмотрим $%i$%-ый проход инструмента (i меняется от максимума = n до 0). Длина иглы $%a_i = i\Delta$%. По теореме Пифагора получаем, что $%x_i=\sqrt{2ra_i + a_i^2}=\sqrt{2ri\Delta +i^2\Delta^2}$%. Эти величины надо просуммировать по i и сумму умножить на 2.
alt text
Если $%\Delta \ll r$%, то под корнем можно отбросить второе слагаемое. Получаем, что $%2\sum_1^n x_i \approx 2\sqrt{2r\Delta}\sum_1^n \sqrt{i}$%. Последняя сумма зависит только от n и может быть подсчитана (например, на калькуляторе) для каждого конкретного n.

Дополнение 3. Может, суммировать не надо, а только найти длину одной риски? Это еще проще.

ссылка

отвечен 16 Авг '12 17:40

изменен 21 Авг '12 23:35

Сам процесс еще раз: 1. В покое иглой касаются плоскости-это "ноль". 2. Отводят окружность от плоскости, задают "глубину царапания", затем запускают свободное вращение окружности, и сообщают вращающейся окружности перемещение вдоль плоскости, параллельно оси вращения окружности. 3. Игла начинает царапать плоскость. За каждый оборот окружности игла делает одну царапину. После каждой царапины игла изнашивается на опр. величину. Таким образом каждая царапина короче предыдущей на опр. величину, т.к. из-за уменьшения длины иглы уменьшается глубина царапания. Что-то вроде "затухания".

(17 Авг '12 7:13) dva79

"Нужно ли учитывать, что при одном "проходе" в конце игла уже короче, чем вначале?".. Нет. Износом иглы в процессе формирования царапины пренебрегаем. Износ-событие, происходящее после образования каждой царапины.

(17 Авг '12 9:05) dva79

Для вставки рисунка есть пиктограмма над полем вопроса/ответа. Он должен быть предварительно подготовлен в виде файла. Название файла должно быть на латинской раскладке клавиатуры.
В комментарий рисунок не вставляется.
Видимо, надо пренебречь и тем, что царапина не совсем перпендикулярна оси (за счет сдвига)?

(17 Авг '12 21:54) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

Игла (если плита - пластмасса, дерево и проч.) или резец (если плита металлическая). Зачем задаётся вращение диска с иглой-резцом? Царапина ведь будет разной глубины, потому что резец вращается (вошёл в контакт с плитой, врезался, вращаясь, сделал царапину разной глубины и вышел из контакта). Или глубина остаётся всё время постоянной, исключая износ инструмента, потому что ось вращения диска перемещается на всю ширину плиты, от торца до торца, а резец в это время не вращается? А чтобы сделать новую царапину, инструмент (резец) перемещается на заданный шаг вдоль плиты в тот период, пока он не находится в контакте с плитой. Может, так надо понять Вашу конструкцию? И конструкция непонятная, и объяснение не лучше. Есть строгальный станок. Резец стоит на месте. Плита закреплена на подвижном столе. Плита механически перемещается на заданную величину, резец делает на ней паз (углубление) заданной формы. Плита возвращается в исходное положение, автоматически перемещается на величину заданного шага между царапинами (углублениями) перпендикулярно направлению движения резца, и резец делает новый паз. Зачем резец-игла вращается, непонятно. Ничего непонятно... Вот теперь совсем другое дело! Шлифовальный круг. Сделал он один проход, ему устанавливают новую глубину проходки, он делает второй проход и т. д. Вопрос второй. Что Вы хотите выяснить в вопросе эксплуатации шлифовального круга? Глубина рисок зависит от величины зёрен (круги для грубой шлифовки, для точной и т. д.); если Вы хотите получить качественную поверхность, ставьте соответствующий круг. Износ его? Проще купить новый круг, чем проводить исследование. Или Ваш завод изготавливает круги , и Вам дали технологическое задание? Итак, вопрос второй... Длину каждой риски рассчитать невозможно: их слишком много на поверхности круга. А рассчитывать глубину риски для одного, отдельно взятого зерна - эта задача сродни такой: найти в море песчинку, размеры которой соответствуют точному кубу +/- допуск на размер. Это просто несерьёзно. Нет таких кругов, у которых на поверхности вкраплено одно зерно, с которым можно было бы проводить эксперимент. Прежде чем РАССЧИТАТЬ, надо иметь опытные данные по износу зерна данного абразива при контакте с данным металлом, имеющим заданные технологические параметры. Вы взяли на себя непосильную ношу.

ссылка

отвечен 16 Авг '12 20:07

изменен 20 Авг '12 19:11

Это некая симуляция процесса абразивной обработки, в которой участвуют 2 тела-металлическая пластина, например, и шлифовальный круг, представляющий собой упаковку огромного количества абразивных зерен. Для того чтобы понять как работает круг целиком для начала хорошо бы смоделировать работу единичного зерна, которое торчит их окружности на величину своей длины-неск. мкм. Процесс стохастический, риски разные, глубины зерен разные. Для одного зерна хорошо бы исследовать процесс на постоянной глубине, но с учетом износа зерна-иглы за каждый оборот окружности и формирование риски.

(19 Авг '12 22:41) dva79

Из огромного количества различных рисок, оставленных абразивными зернами формируется обработанная поверхность. На Вашем рисунке CD это есть длина иглы, т.е. зерна. На Вашем рис. игла нарисована по касательной, однако должна быть направлена радиально, например по отрезку CD.

(19 Авг '12 22:42) dva79

Я хочу выяснить как можно РАССЧИТАТЬ длину каждой риски, с учетом того, что длина иголка после формирования предыдущей риски уменьшилась на опр. величину-износилась.

(20 Авг '12 10:37) dva79

Посмотрите мой рисунок и ответьте на вопросы. Чтобы решать задачу - нужно понятное условие. Возможно у Вас есть оригинал условия.

(20 Авг '12 10:57) Anatoliy

@dva79 пишите, пожалуйста, комментарий под соответствующим ответом. Здесь ответ nikolaykruzh..., а рисунок представил @Anatoliy.

А мой рисунок, что, не соответствует задаче? Ответ Вам не подходит? (я внесла изменения в свой ответ)

(21 Авг '12 0:33) DocentI

К Вашему ответу у меня нет кнопки "добавить комментарий"

(22 Авг '12 8:56) dva79

Ну да, на каждый ответ не более 4 комментариев. Я удалю лишние и у Вас появится возможность комментировать.

(22 Авг '12 10:51) DocentI
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

Введем обозначения: $%R$% - радиус круга, $%l$% - первоначальная длина иглы, $%h$% - величина зазора между кругом и плоскостью ($%h=CD, h < l$%), $%\Delta l$% - величина износа иглы при каждом обороте, $%s_i$% - длина риски после $%i$%-го оборота. Тогда $%s_i=2\sqrt{(R+l-i\cdot\Delta l)^2-(R+h)^2},0\le i\le\frac{l-h}{\Delta l}$%. Сумма длин всех рисок $$s=2\cdot\sum_{i=0}^{[\frac{l-h}{\Delta l}]}{\sqrt{(R+l-i\cdot\Delta l)^2-(R+h)^2}}.$$ Если параметры системы позволяют, то величинами $%h$% и $%(\Delta l)^2$% можно пренебречь.

ссылка

отвечен 19 Авг '12 11:53

изменен 22 Авг '12 11:03

Игла же радиальная, т.е. вдоль радиуса. Впрочем, это должен сказать автор вопроса, а он куда-то запропастился.

(20 Авг '12 23:51) DocentI

Про зазор автор вроде не говорил. Впрочем, это не существенно. Думаю, при стольких упрощениях можно также отбросить квадратичный множитель под корнем, как я сделала в своем ответе.

(21 Авг '12 23:34) DocentI

Что значит зазор между кругом и плоскостью? Это длина иглы, выступающая из круга??? Как найти сумму всех длин укорачивающихся рисок?

(22 Авг '12 6:38) dva79

Рисунок абсолютно верен. Кривизной риски (ее неперпендикулярностью вектору осевого перемещения) пренебрегаем.

(22 Авг '12 8:54) dva79

@dva79, Вы упорно пренебрегаете моим ответом. Там все найдено, и сумма тоже. И никакого зазора нет.
Кстати, про зазор совершенно ясно: это часть длины иглы, которая никогда не сотрется, потому что окружность не вплотную прилегает к плоскости. По-моему ненужный параметр: его можно сразу вычесть из длины иглы и не заморачиваться.

(22 Авг '12 10:48) DocentI

Благодарю Вас всех за представленные варианты решений

(22 Авг '12 11:47) dva79
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×607

задан
16 Авг '12 9:21

показан
2472 раза

обновлен
22 Авг '12 12:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru