$%y''+2y'=\frac{y'^{\,2}}{y+1}+ \frac{y'}{x}\ln(\frac{y+1}{y'}), y(1)=1,y'(1)=\frac{2}{e}$%

задан 23 Сен '15 22:12

изменен 23 Сен '15 22:15

falcao's gravatar image


247k23548

10|600 символов нужно символов осталось
1

Сделаем замену $$u=\frac{y'}{y+1}$$ где $%u(x)$% новая искомая функция... (если выражать $%y$% и подставлять в уравнение, то удобнее обозначать эту дробь как производную новой функции... я обойдусь без этого) ... Преобразуем уравнение перенеся первое слагаемое справа налево: $$ \frac{(y+1)y''-y'^2}{y+1} + 2y'=\frac{y'}{x}\;\ln\left(\frac{y+1}{y'}\right) $$ $$ \left(\frac{y'}{y+1}\right)' + \frac{2y'}{y+1}=\frac{y'}{x(y+1)}\;\ln\left(\frac{y+1}{y'}\right) $$ $$ u' + 2u=\frac{u}{x}\;\ln\left(\frac{1}{u}\right) $$ Умножим уравнение на $%e^{2x}$% и заметим слева производную от произведения... тогда $$ \left(u\;e^{2x}\right)'=\frac{u\;e^{2x}}{x}\;\ln\left(\frac{\;e^{2x}}{u\;e^{2x}}\right) $$ Обозначим $%v=u\;e^{2x}$%, тогда уравнение преобразуется к виду $$ v'=\frac{v}{x}\;\ln\left(\frac{\;e^{2x}}{v}\right) $$ Осталось заметить, что $%v(x)>0$% и сделать замену $%v=e^w$%... получаем линейное уравнение...

ссылка

отвечен 23 Сен '15 23:36

изменен 24 Сен '15 4:03

@all_exist: а можно изложить подробнее? Скажем, я не понял идею. Если имелось в виду, что мы $%y$% заменяем на $%e^u-1$%, то надо знать, что $%y+1 > 0$%, а это не дано.

(23 Сен '15 23:46) falcao

@falcao, пардон... потерял константу перед экспонентой...

(24 Сен '15 1:19) all_exist

@all_exist: а там точно с разделяющимися переменными будет уравнение? Мне показалось, что оно чуть более сложный вид имеет. Правда, я считал не слишком внимательно.

(24 Сен '15 1:31) falcao

@falcao, да, обнаружил косяк... забыл про $%2y'$%... но по прикидкам - после серии замен получается линейное уравнение... Правда сейчас написать подробнее не могу... если получится, то завтра вечером...

(24 Сен '15 1:36) all_exist

немного расписал...

(24 Сен '15 4:04) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,020
×7

задан
23 Сен '15 22:12

показан
271 раз

обновлен
24 Сен '15 4:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru