При попытке разобраться в доказательстве этой теоремы:

Пусть $% F$% - поле и $%f \in F[x_{1}, ... x_n]$% - ненулевой многочлен суммарной степени $% \sum_{i=1}^n m_{i} $% в котором коэффициент при $%x_1^{m_1}.....x_n^{m_n} $% отличен от 0, тогда для произвольных множеств $%S_{1},..... S_n \subseteq F, |S_i| > m_i, i \in [1,...,n]$% существует $% c_i \in S_i$%, такие что $%f(c_1,....c_n) \neq0$%

возникла проблема с таком леммой: Лемма: предположим, что $%f$% как многочлен от $%x_i$% имеет степень $%t_i, i \in [1,n]$%, и пусть $%S_i \subseteq F, |S_i| > t_i$% Тогда если $% f(x_1, ..... , x_n)$% = 0 для всякого набора $%(x_1,....,x_n) \in S_1 \times S_2 \times ....\times S_n$%, то $% f \equiv 0$%

собственно вопрос в том, как доказать лемму?

задан 24 Сен '15 22:00

изменен 25 Сен '15 2:14

10|600 символов нужно символов осталось
2

Лемма как раз доказывается просто. Здесь обычная индукция. Для одной переменной это ясно: у многочлена больше корней, чем его степень. Значит, все коэффициенты нулевые. Для шага индукции надо разложить многочлен по степеням $%x_n$%. Для каждого фиксированного набора значений $%(x_1,\ldots,x_{n-1})\in S_1\times\cdots\times S_{n-1}$% получается многочлен от $%x_n$%, у которого корней больше, чем его степень. Общий факт при этом всё равно применим, так как хотя многочлены не образуют поля, но они содержатся в поле рациональных функций. А для многочленов над полями верно то, что корней у многочлена не больше, чем его степень, за исключением случая, когда все коэффициенты равны нулю. Значит, все коэффициенты обращаются в ноль на декартовом произведении $%n-1$% сомножителя, и к каждому из них как многочлену применяем индукционное предположение.

То есть тут напрямую всё получается, никаких "подводных камней" нет. Надо только в формулировке сказать чётче -- что это для всех $%i$%, а не для одного фиксированного.

Вообще, в статье Алона всё достаточно хорошо изложено -- он очень понятно пишет, и всё разъясняет. Без всяких там "очевидно, что" и "детали додумайте сами".

ссылка

отвечен 25 Сен '15 3:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,214
×1,135
×374

задан
24 Сен '15 22:00

показан
294 раза

обновлен
25 Сен '15 3:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru