опр. Несократимая запись многочлена - представление его в виде суммы нескольких мономов, у которых наборы показателей степеней попарно различны. Несократимая запись нулевого многочлена - это просто 0.

1) Доказать, что если P - многочлен, у которого есть ненулевая несократимая запись, то $% \exists a_1,..,a_k \in R $%, такие что $% P(a_1,...,a_k) \neq 0$%

2) Несократимая запись любого многочлена существует и единственна

задан 24 Сен '15 22:07

10|600 символов нужно символов осталось
1

Будем считать, что многочлены рассматриваются над бесконечным полем (в противном случае само утверждение неверно).

1) Пусть $%P$% ненулевой (как многочлен). Тогда в его запись (несократимую) входит некоторый моном. Выберем моном максимальной степени $%d$%. Если $%d=0$%, то многочлен является отличной от нуля константой и доказывать нечего. Пусть $%d\ge1$%. Тогда в этот моном входит одна из переменных. Будем считать, что это $%x_k$%. Многочлен при этом можно представить в виде многочлена от $%x_k$% с коэффициентами, которыми являются многочлены от $%x_1,\ldots,x_{k-1}$% (это основной приём). Степень такого многочлена по переменной $%x_k$% не меньше 1.

Старшим коэффициентом является ненулевой многочлен от $%k-1$% переменной. Рассуждая по индукции, рассмотрим значения первых $%k-1$% переменных, для которых данный старший коэффициент становится ненулевым. Тогда получится многочлен степени $%\ge1$% от $%x_k$% с постоянными коэффициентами. По следствию из теоремы Безу, число его корней в любом поле конечно и не превосходит его степени. Если поле бесконечно, то в нём можно выбрать элемент, не являющийся корнем, в качестве значения переменной $%x_k$%.

2) Здесь имеется в виду, что разные несократимые записи задают разные многочлены, рассматриваемые как функции. Это следует из первого утверждения. Ненулевой многочлен задаёт ненулевую функцию от $%k$% переменных -- именно это было доказано. Если два многочлена имеют разные несократимые записи, то их разность ненулевая (как несократимая сумма). Тогда она задаёт ненулевую функцию, а это значит, что два наших многочлена отличаются значениями в некоторой точке.

Вообще, я бы определял многочлены алгебраическим способом, и потом уже каждому из них сопоставлял функцию, не отождествляя её с самими многочленом (алгебраическим выражением). Так получается удобнее.

ссылка

отвечен 25 Сен '15 0:03

А алгебраически это через формальные степенные ряды или как?

(25 Сен '15 0:07) sapere aude

@sapere aude: а зачем именно ряды? Можно делать и так, если ряды сами по себе нужны, а потом выделять подкольцо. В принципе, это неплохой способ, хотя есть и другие. Но я не приветствую "старомодный" подход, когда многочлен определяется как функция. С методической точки зрения, это приносит массу неудобств. Кстати, если изначально подходить алгебраически, то все ранее обсуждавшиеся утверждения в самом деле становятся очевидными.

(25 Сен '15 0:13) falcao

@falcao Простите, что туплю, но что-то не улавливаю тогда что считать алгебраическим определением. Конечная сумма из произведений ненулевого количества переменных?

(25 Сен '15 2:00) sapere aude

@sapere aude: определения можно давать разные в смысле формальных основ, но в итоге всё равно получится конечная сумма одночленов. Это всё как бы известно. Я имел в виду, что многочлен определяется своими коэффициентами при одночленах, и равными считаются многочлены с равными соответствующими коэффициентами. А не тогда, когда они равны как функции.

(25 Сен '15 2:14) falcao

@falcao ааааа вот оно что! понял, и впрямь интересный подход

(25 Сен '15 2:19) sapere aude

@sapere aude: мне эта реакция немного странна, потому что я не вижу здесь ничего нового. Ведь в школе многочленами были именно "выражения". Меня это всегда смущало, когда я учился, потому что понятие "выражения" никто нигде не определял. Что это такое на самом деле, и "заменителем" чего является, я понял намного позднее. Но всё равно в "новой" программе, по которой я учился, был принят именно современный подход -- пусть и не вполне совершенный.

(25 Сен '15 2:31) falcao

@falcao в школе я не задумывался об определениях и нам говорили что одночлен это "умноженные друг на друга числа и буквы", а многочлен - сумма таких вот величин. ну меня приятно удивило то, что можно тупо попарно сравнить коэффициенты не вычисляя значений - так как-то алгоритмически "красивее" выходит

(25 Сен '15 2:41) sapere aude
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×391
×374

задан
24 Сен '15 22:07

показан
570 раз

обновлен
25 Сен '15 2:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru