alt text

Сравнить числа a и b.Пожалуйста.

задан 26 Сен '15 12:09

10|600 символов нужно символов осталось
3

У первой дроби из знаменателя вычтем числитель. Получим $%(\sqrt[n]4-\sqrt[n]3)-(\sqrt[n]7-\sqrt[n]6)$%. Легко видеть, что $%\sqrt[n]{x+1}-\sqrt[n]{x}$% обратна величине $%u^{n-1}+u^{n-2}v+\cdots+v^{n-1}$%, где $%u=\sqrt[n]{x+1}$%, $%v=\sqrt[n]{x}$%. Обратная величина возрастает, поэтому разность убывает при $%x > 0$%. Следовательно, $%\sqrt[n]4-\sqrt[n]3 > \sqrt[n]7-\sqrt[n]6$%, откуда $%a < 1$%.

Аналогично, у второй дроби знаменатель вычтем из числителя. Получится $%(\sqrt[n]6-\sqrt[n]5)-(\sqrt[n]9-\sqrt[n]8)$%. По той же причине, что и выше, эта величина положительна, откуда $%b > 1$%.

Таким образом, $%a < b$%.

ссылка

отвечен 26 Сен '15 12:36

10|600 символов нужно символов осталось
3

Я бы делал так.

Сравнивать просят $%(\sqrt[n]{3}+\sqrt[n]{5}+\sqrt[n]{7})(\sqrt[n]{5}+\sqrt[n]{7}+\sqrt[n]{9})$% и $%(\sqrt[n]{4}+\sqrt[n]{5}+\sqrt[n]{6})(\sqrt[n]{6}+\sqrt[n]{7}+\sqrt[n]{8})$%. Соответственно, исследуем функцию $%f(x)=(\sqrt[n]{5-x}+\sqrt[n]{5}+\sqrt[n]{5+x})(\sqrt[n]{7-x}+\sqrt[n]{7}+\sqrt[n]{7+x})$% (с помощью производной). Нам необходимо сравнить $%f(1)$% c $%f(2)$%. Если выяснится, что эта функция на промежутке $%[1;2]$% монотонна, это даст нам ответ.

Вроде бы там всё просто, и при положительных $%x$% функция убывает. Соответственно, $%f(1)>f(2)$%, $%a<b$%.

ссылка

отвечен 26 Сен '15 12:42

Сама функция получается достаточно сложная, но она действительно убывает, потому что это происходит с каждым из её сомножителей. А это проверяется, в частности, при помощи производной.

(26 Сен '15 12:51) falcao

Да, я так же считал. Там же производная произведения на слагаемые раскладывается, и каждое из них отрицательное.

(26 Сен '15 22:50) knop

@knop: я думаю, что производную произведения нет необходимости рассматривать. Оба сомножителя однотипные, и они принимают положительные значения. Поэтому имеет смысл проверять убывание для функции более простого вида. Из теоремы о производной произведения это, конечно, тоже следует, но лучше всё-таки это соображение не привлекать.

(26 Сен '15 23:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×50

задан
26 Сен '15 12:09

показан
544 раза

обновлен
26 Сен '15 23:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru