Какова мощность множества всех выпуклых многоугольников на плоскости, координаты всех вершин которых рациональны?

задан 27 Сен '15 15:14

Ясно, что это множество бесконечно (достаточно рассмотреть квадраты). В то же время, оно не более чем счётно. Для каждого $%n$% мощность не превосходит $%\mathbb Q^{2n}$% (наборы из $%n$% пар координат), а счётное объединение счётных множеств счётно.

Для невыпуклых многоугольников с тем же свойством верно то же самое.

(27 Сен '15 15:19) falcao

@falcao: факт, в принципе, очевидный. Но как это строго обосновать?

(27 Сен '15 15:24) stander

@stander: конечно, факт очевидный. А обоснование я привёл -- это ссылки на общеизвестные теоремы. Ясно, что многоугольник определяется координатами своих вершин. Поэтому для $%n$%-угольника отображение в $%\mathbb Q^{2n}$% инъективно. То, что $%\mathbb Q$% счётно, все знают. То, что $%A\times B$% счётно для счётных $%A$% и $%B$% -- это нумерация пар по Кантору. То, что $%A^n$% счётно, выводится отсюда по индукции. То, что счётное объединение счётных множеств счётно, это теорема из учебника. Что здесь считается нестрогим, и вообще, каковы критерии строгости?

(27 Сен '15 15:36) falcao

@falcao: я примерно то же на семинаре сказала. Это считается нестрого :) А еще раньше мы полчаса доказывали, что множество A эквивалентно дополнению от дополнения множества A. Заняли всю доску.

(27 Сен '15 15:49) stander

@stander: критериев строгости может быть сколько угодно, и без явного указания на то, каковы они, само понятие "строгости" теряет смысл. Если кто-то считает рассуждение нестрогим, то нужно указать те моменты, где не соблюдаются какие-то принятые правила. При желании, можно потребовать вывода в какой-то формальной системе -- это будет на уровне написания программы на заданном алгоритмическом языке. Но при этом синтаксис языка должен быть указан точно.

Что касается дополнения дополнения, то оно просто равно A. Почему только "эквивалентно"?

(27 Сен '15 15:58) falcao

@falcao: Да, Вы правы. Мы равенство доказывали. Я случайно перепутала "равно" и "эквивалентно". Раньше пользовалась ими как синонимами по незнанию.

(27 Сен '15 16:13) stander

@stander: вот обычное доказательство: $%x\in\bar{\bar{A}}$% iff $%x\notin\bar{A}$% iff $%x\in A$%. Можно также составить таблицу истинности из двух строк. Что именно доказывали так долго, и чем исписали доску? В каком формальном исчислении делался вывод? Я могу такое себе представить, если изучалась теория логического вывода в курсе матлогики. Там закон двойного отрицания для высказываний выводится из имеющихся правил, и это выглядит действительно сложно, но это совсем отдельная теория.

(27 Сен '15 16:21) falcao

@falcao: нет, таблицы истинности семинаристу не понравились. Я их в школе проходила, пыталась на них сослаться, показать, что они совпадают. Вариант "по определению" его тоже не устроил. Брали произвольный x из A, показывали, что он содержится в A**. И обратно. В итоге мы так и подбирали всей группой оформление решения, которое было бы на его взгляд приемлемо. В итоге полчаса потратили, чтобы он признал доказательство строгим. Ему кажется строгим то, что не содержит ни одного слова. Только символы.

(27 Сен '15 16:40) stander
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×247
×51

задан
27 Сен '15 15:14

показан
687 раз

обновлен
27 Сен '15 16:40

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru