ряды - Пример ряда

Рассмотрим ряд $%\sum\limits_{n=2}^{\infty}a_n$%, где $%a_n=\frac1{n\ln^2n}$%. Он сходится по интегральному признаку.

Для сравнения отношения соседних членов, заметим для начала, что $%\ln(n+1)=\ln n+\ln(1+\frac1n)=\ln n+\frac1n+o(\frac1n)$% при $%n\to\infty$%. Следовательно, $%\frac{\ln(n+1)}{\ln n}=1+\frac1{n\ln n}+o(\frac1{n\ln n})=1+o(\frac1n)$%. Отсюда $%\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n+1}n\cdot\left(\frac{\ln(n+1)}{\ln n}\right)^2=(1+\frac1n)(1+o(\frac1n))^2=1+\frac1n+o(\frac1n)$%. Тем самым, $%n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1)=1+o(1)$% стремится к $%1$%, и признак Раабе здесь ответа на даёт.